浅谈小波分析

Posted 2020-07-31 Young_Gy

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了浅谈小波分析相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

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本文首先介绍了从傅里叶变换到小波变换的发展史，然后着重强调了小波变换的两种作用——时频分析和多分辨率分析，最后讲了一下吉布斯效应等相关知识。

小波的发展历史与驱动

傅里叶变换

FT（傅里叶变换），通过将信号分解成正余弦函数（把三角函数当做函数空间的基），将时域信号转化为频域信号。缺点是只适用于平稳性信号，在频域图上不能获得对应频率的时间信息。

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由上图可以看到，对于频域成分相同的信号，即使信号在时域上的分布不一样，FFT变换后的频域图却几乎完全一样。所以说，FFT只可以获得一段信号总体上包含哪些成分，但是对各成分出现的时间并无所知。因此时域相差很大的信号FFT之后的频域图可能完全相同。

短时傅里叶变换

STFT（短时傅里叶变换）添加时域信息的方法是设置窗格，认为窗格内的信号是平稳信号，对窗格内的信号分段进行FT分析。优点是可以获得频域信息的同时可以获得时域信息。缺点是窗格大小很难设置。

STFT的方法及效果如下图：

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STFT的窗格问题如下：

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由上面的图可以看到，窄窗口时间分辨率高、频率分辨率低；宽窗口时间分辨率低，频率分辨率高。对于时变的非稳态信号，高频适合小窗口，低频适合大窗口。可是STFT的窗口是固定的，因此需要寻求别的方法。

小波变换

WT（小波变换），将傅里叶变换的基给换了—— 将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基，这样不仅可以获取频率，还可以定位到时间。

傅里叶变换

傅里叶变换，通过相互正交的三角函数信号和原信号在无穷上进行积分，积分越大表明信号越相似，包含该频率的三角信号也就越多。

最后，每一个f值对应了一个积分值，获得了频率图。

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小波变换

小波变换的原理类似傅里叶变换，只是把三角函数基换成了小波基。

与傅里叶变换不同，小波变换有两个变量：scale和translation。scale控制小波函数的收缩，其导数即为频率，translation控制小标函数的平移，平移量对应时间。

通过信号的伸缩平移，可以得到某种重合情况，这样积分也会得到一个极大值，不同的是，得到频率成分的同时，还可以知道该频率的时间位置。

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最后得到的也是三维的图像：

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三种变换的对比

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傅里叶变换，选择正弦函数作为基函数，然后考察的到的展开式的性质。
对于小波分析，首先提出想要的性质，然后推导出基函数。

小波变换

离散小波变换

f (t) f (t) f (t) = \sum j, k a j, k 2 j / 2 ψ (2 j t ? k) = \sum j, k a j, k ψ j, k (t) = \sum j, k ? ψ j, k, f (t) ? ψ j, k (t)

$\begin{split} f(t)&=\sum_{j,k} a_{j,k} 2^{j/2}\psi(2^j t -k) \f(t)&=\sum_{j,k} a_{j,k} \psi_{j,k}( t ) \f(t)&=\sum_{j,k} \left<\psi_{j,k} ,f(t) \right> \psi_{j,k}( t ) \end{split}$

连续小波变换

F (a, b) = \int f (t) w (t ? a b)

$F(a,b) = \int f(t) w(\frac{t-a}{b})$

小波的多分辨率阐述

小波的一个思想是在时间和频率两个方面提供有效的局部化，另一个中心思想是多分辨率，即信号的分解是按照不同分辨率的细节一层一层进行的。

信号空间

$L^2(R)$ 平方可积空间，如果函数 $g(t)$ 是这个空间的元素，那么 $g(t) \in L^2$ 。

尺度函数

对于二维函数族（构成空间的基底）：

φ j, k (t) = 2 j / 2 φ (2 j t ? k)

$\varphi_{j,k} (t)=2^{j/2}\varphi (2^j t -k)$

对于所有 $k \in Z$ ，可以张成空间：

V j = S p a n k {φ j, k (t)} ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ

$V_j = \overline{{Span}_k \{ \varphi_{j,k}(t) \}}$

如果 $f(t) \in V_j$ ，那么 $f(t)$ 可以表示为：

f (t) = \sum k a k φ (2 j t + k)

$f(t) = \sum_k a_k \varphi(2^j t +k)$

也就是说， $f(t)$ 可以通过 $V_j$ 空间的一组基底表示出来，并且这个基底是可以设置的。 $j$ 越大，分辨率越高。

多分辨率分析

低分辨率上的信号，不仅可以通过该低分辨率上的信号基底组合，还可以通过高分辨率上信号的基底组合起来。

尺度函数 $\varphi_{j,k}(t)$ 张成了 $V$ 空间，不同V

以上是关于浅谈小波分析的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

小波分析六小波分析与非线性逼近（上）

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