小波分析六小波分析与非线性逼近（上）
Posted 陆嵩
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了小波分析六小波分析与非线性逼近（上）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
【小波分析】六、小波分析与非线性逼近（上）
神经网络与小波分析相结合, 分形几何与小波分析相结合是国际上研究的热点之一。基于神经网络的智能处理技术, 模糊计算、进化计算与神经网络结合的研究, 没有小波理论的嵌人很难取得突破。非线性科学的研究正呼唤小波分析, 也许非线性小波分析是解决非线性科学问题的理想工具。
对偶
回忆一下，在线性代数中，如果给定
R
n
\\mathbb{R}^n
Rn 空间的一组基，不妨设为
e
k
\\mathbf {e}_k
ek，每个
k
k
k 对应于一个
n
n
n 维的列向量，它们不必是单位向量，也不必是正交的。那么，给定空间的一个向量
v
\\mathbf v
v，它在每个
e
k
\\mathbf{e}_k
ek 上的系数，就等于
v
\\mathbf{v}
v 和
e
k
\\mathbf{e}_k
ek 对偶上的内积。即
v
=
∑
k
=
1
n
(
v
,
e
~
k
)
e
k
\\mathbf{v} = \\sum_{k=1}^{n} (\\mathbf{v},\\mathbf {\\tilde {e}}_k) \\mathbf{e}_k
v=k=1∑n(v,e~k)ek
其中，
(
⋅
,
⋅
)
(\\cdot,\\cdot)
(⋅,⋅) 表示向量内积。
e
~
k
\\mathbf {\\tilde {e}}_k
e~k 表示
e
k
\\mathbf{e}_k
ek 的对偶（在这组基的意义下），即
(
e
j
,
e
~
k
)
=
δ
j
,
k
.
(\\mathbf{e}_j,\\mathbf {\\tilde {e}}_k) = \\delta_{j,k}.
(ej,e~k)=δj,k.
δ \\delta δ 表示 Kronecker delta 函数， j = k j=k j=k 为 1， j ≠ k j\\neq k j=k 为零。
理解一下，我们要找一个向量在一组基下的表示，无非就是要找到这组基张成的矩阵的逆，所谓的对偶，其实本质上反映的就是基向量张成的空间的逆。当基函数是标准正交基的时候，它张成的矩阵是个酉矩阵，那么它的逆本质上就等同于自身，此时， e ~ k = e k \\mathbf {\\tilde {e}}_k=\\mathbf{e}_k e~k=ek。
把它推广到函数空间，也是一样的。在 L 2 ( R ) L^2(\\mathbb{R}) L2(R) 空间中定义对偶 φ ~ k \\tilde{\\varphi}_k φ~k，
< φ j , φ ~ k > : = ∫ R φ j φ ~ k d x = δ j k <\\varphi_j, \\tilde{\\varphi}_k> := \\int_{\\mathbb{R}} \\varphi_j \\tilde{\\varphi}_k \\mathrm{d} x=\\delta_{j k} <φj,φ~k>:=∫Rφjφ~kdx=δjk
那么，任意的 f ∈ L 2 ( R ) f \\in L^2(\\mathbb{R}) f∈L2(R)，我们有
f = ∑ k = 1 n < f , φ ~ k > φ k . f = \\sum_{k=1}^{n} <f, \\tilde{\\varphi}_k> \\varphi_k. f=k=1∑n<f,φ~k>φk.
非常干净，非常简洁的表示。在理论分析上很有用。
插值空间
这里直接给出插值空间
(
X
,
Y
)
θ
,
q
(X, Y)_{\\theta, q}
(X,Y)θ,q 的定义，它是满足以下半范有限的所有的
f
f
f 的集合：
∣
f
∣
(
X
,
Y
)
θ
,
q
:
=
{
(
∫
0
∞
[
t
−
θ
K
(
f
,
t
)
]
q
d
t
t
)
1
/
q
,
0
<
q
<
∞
sup
t
>
0
t
−
θ
K
(
f
,
t
)
,
q
=
∞
|f|_{(X, Y)_{\\theta, q}}:=\\left\\{\\begin{array}{ll} \\left(\\int_{0}^{\\infty}\\left[t^{-\\theta} K(f, t)\\right]^{q} \\frac{\\mathrm{d} t}{t}\\right)^{1 / q}, & 0<q<\\infty \\\\ \\sup _{t>0} t^{-\\theta} K(f, t), & q=\\infty \\end{array}\\right.
∣f∣(X,Y)θ,q:={(∫0∞[t−θK(f,t)]qtdt)1/q,supt>0t−θK(f,t),0<q<∞q=∞
这里的
K
K
K 泛函定义为，
K
(
f
,
t
)
:
=
K
(
f
,
t
;
X
,
Y
)
:
=
inf
g
∈
Y
∥
f
−
g
∥
X
+
t
∣
g
∣
Y
K(f, t):=K(f, t ; X, Y):=\\inf _{g \\in Y}\\|f-g\\|_{X}+t|g|_{Y}
K(f,t):=K(f,t;X,Y):=g∈Yinf∥f−g∥X+t∣g∣Y
这里的
Y
Y
Y 是连续地嵌入到
X
X
X 里面，即
以上是关于小波分析六小波分析与非线性逼近（上）的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章