小波分析三正交小波的构造
Posted 陆嵩
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了小波分析三正交小波的构造相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
【小波分析】三、正交小波的构造
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内容回顾
回顾一下之前的内容。前面我们从线性代数谈起，引入了"变换即找基"的观念。接着我们谈了一下小波分析的历史，从傅里叶得到法国科学院的大奖却没拿到奖金一脸委屈到哈尔基，再到加窗傅里叶变换，再到小波分析的萌芽。
再之后，我们就开始正式地介绍小波分析了。我们从傅里叶变换谈起，介绍了它种种的缺点，和不尽如人意的地方。傅里叶分析不足的根源在于傅里叶分析的基函数是周期函数，而周期函数的离散和还是周期函数，那么，信号空间里面的任意一个函数，就不能直接做傅里叶变换。从而我们引入了小波。
我们简单介绍了什么是小波基。它是满足一定条件的一个函数，通过连续的伸缩和平移得到一堆函数。再之后，我们通过不断地加条件，把频域空间不端地缩小，从而得到各种各样的小波。正负无穷折叠，得到吸收小波。把 a a a 在 2 的整数次幂的地方做离散，我们得到了二进小波，把 a a a在 2 的整数次幂的地方做离散，把 b b b 在 2 的整数次幂的整数倍的地方做离散，我们得到了正交小波。正交小波是非常重要的一类小波。
最后我们还介绍了，小波和采样的相关内容。后续还有很多丰富的内容，如用时频分析证明测不准原理等。
其实我很小的时候就听说过小波了，大概在四五岁的时候。丁丁、迪西、拉拉、小波，天线宝宝，说，你好。那时候，除了知道小波，还有丁丁、迪西和拉拉。
傅里叶变换常用性质
介绍一下后续内容需要用到的傅里叶变换的性质。简单推导即可得到。这里不做详细介绍。
回顾傅里叶变换的定义：
f
^
(
ω
)
=
∫
−
∞
+
∞
f
(
t
)
e
−
i
ω
t
d
t
\\hat{f}(\\omega)=\\int_{-\\infty}^{+\\infty} f(t) e^{-i \\omega t} d t
f^(ω)=∫−∞+∞f(t)e−iωtdt
傅里叶逆变换为：
f
^
(
ω
)
=
1
2
π
∫
−
∞
+
∞
f
(
t
)
e
i
ω
t
d
t
\\hat{f}(\\omega)=\\frac{1}{{2 \\pi}} \\int_{-\\infty}^{+\\infty} f(t) e^{i \\omega t} d t
f^(ω)=2π1∫−∞+∞f(t)eiωtdt
正逆变换前面的系数并不重要，反正乘起来要等于 1 2 π \\frac{1}{2\\pi} 2π1。
1、 f ( t + h ) f(t+h) f(t+h)的傅里叶变换为 e i ω h f ^ ( ω ) e^{i\\omega h}\\hat f(\\omega) eiωhf^(ω)。
2、 f ( a t ) f(at) f(at)的傅里叶变换为 1 a f ^ ( ω a ) \\frac{1}{a}\\hat f(\\frac{\\omega}{a}) a1f^(aω)。
3、 d f ( t ) d t \\frac{d f(t)}{d t} dtdf(t)的傅里叶变换为 i ω f ^ ( ω ) i \\omega \\hat f(\\omega) iωf^(ω)。
4、 − i t f ( t ) -itf(t) −itf(t)的傅里叶变换为 d f ^ ( ω ) d ω \\frac{d \\hat f(\\omega)}{d \\omega} dωdf^(ω)
5、互反公式： ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) g ^ ( t ) d t = ∫ − ∞ + ∞ f ^ ( ω ) g ( ω ) d ω \\int_{-\\infty}^{+\\infty}f(t)\\hat g(t)dt=\\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\hat f(\\omega)g(\\omega)d\\omega ∫−∞+∞f(t)g^(t)dt=∫−∞+∞f^(ω)g(ω)dω
6、特征函数傅里叶变换： χ [ − a , a ] \\chi[-a,a] χ[−a,a]的傅里叶变换是辛格函数 2 sin a ω a ω 2\\frac{\\sin a \\omega}{a\\omega} 2aωsinaω。反之， sin a t a t \\frac{\\sin a t}{at} atsinat的傅里叶变换是 χ [ − a , a ] \\chi[-a,a] χ[−a,a]。我这个不知道有没有算错，可以再确认一下。
处理 f ( a t + h ) f(at+h) f(at+h) 类型的傅里叶变换，先把其写成 f ( a ( t + h a ) ) f(a(t+\\frac{h}{a})) f(a(t+ah))，再分别按第 2 条和第 1 条的方式处理。即 f ( a t + h ) f(at+h) f(at+h) 的傅里叶变换是 1 a e i ω h a f ^ ( ω a ) \\frac{1}{a}e^{i\\omega \\frac{h}{a}}\\hat f(\\frac{\\omega}{a}) a1eiωahf^(aω)
正交小波典例: 哈尔小波
回顾一下正交小波的定义。
若
ψ
(
t
)
\\psi(t)
ψ(t) 满足
{
ψ
j
,
k
(
t
)
=
2
j
/
2
ψ
(
2
j
t
−
k
)
;
(
j
,
k
)
∈
Z
2
}
\\left\\{\\psi_{j, k}(t)=2^{j / 2} \\psi\\left(2^{j} t-k\\right) ;(j, k) \\in Z^{2}\\right\\}
{ψj,k(t)=2j/2ψ(2jt−k);(j,k)∈Z2}
构成
L
2
(
R
)
L^{2}(\\mathbb{R})
L2(R) 的标准正交基 (O.N.B), 则称
ψ
(
t
)
\\psi(t)
ψ(t) 是正交小波。
注意到，当 j = 0 , k = 0 j=0,k =0 j=0,k=0 刚好是 ψ ( t ) \\psi(t) ψ(t)，它也在这个空间里面。别的基是通过它的 2 2 2 的整数次幂的伸缩和平移得到的。
看哈尔小波，它是不是正交小波呢？
h
(
t
)
=
{
1
0
<
t
<
0.5
−
1
0.5
≤
t
<
1
0
其
他
h(t)=\\left\\{\\begin{array}{cc} 1 & 0<\\text { t}<0.5 \\\\ -1 & 0.5\\leq t <1 \\\\ 0 & 其他 \\end{array}\\right.
h(t)=⎩⎨⎧1−100< t<0.50.5≤t<1以上是关于小波分析三正交小波的构造的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章