小波分析七小波分析与非线性逼近（下）
Posted 陆嵩
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了小波分析七小波分析与非线性逼近（下）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
【小波分析】七、小波分析与非线性逼近（下）
文章目录
洛伦兹空间
我们定义洛伦兹范数，
∥
f
∥
L
p
,
q
:
=
{
(
∫
0
∞
[
t
1
/
p
f
∗
(
t
)
]
q
d
t
t
)
1
/
q
,
0
<
q
<
∞
sup
t
1
/
p
f
∗
(
t
)
,
q
=
∞
\\|f\\|_{L_{p, q}}:=\\left\\{\\begin{array}{ll} \\left(\\int_{0}^{\\infty}\\left[t^{1 / p} f^{*}(t)\\right]^{q} \\frac{\\mathrm{d} t}{t}\\right)^{1 / q}, & 0<q<\\infty \\\\ \\sup t^{1 / p} f^{*}(t), & q=\\infty \\end{array}\\right.
∥f∥Lp,q:={(∫0∞[t1/pf∗(t)]qtdt)1/q,supt1/pf∗(t),0<q<∞q=∞
所有的洛伦兹范数有限的函数组成的空间，我们就叫洛伦兹空间
L
p
,
q
(
A
,
d
μ
)
L_{p, q}(A, \\mathrm{~d} \\mu)
Lp,q(A, dμ)。其中，star 符号表示重排。什么叫重排呢？如果用
μ
\\mu
μ 表示一个集合的测度，
μ
(
f
,
t
)
\\mu(f, t)
μ(f,t) 表示函数模在
t
t
t 之上的那些自变量取值的测度，即，
μ
(
f
,
t
)
:
=
μ
{
x
:
∣
f
(
x
)
∣
>
t
}
\\mu(f, t):=\\mu\\{x:|f(x)|>t\\}
μ(f,t):=μ{x:∣f(x)∣>t}
那么
f
∗
f^*
f∗ 其实就是，
f
∗
(
t
)
:
=
inf
{
y
:
μ
(
f
,
y
)
≤
t
}
.
f^{*}(t):=\\inf \\{y: \\mu(f, y) \\leq t\\} .
f∗(t):=inf{y:μ(f,y)≤t}.
μ
\\mu
μ 测度尽可能地大，卡在这个
t
t
t 这里，令
y
y
y 尽可能地小。
自然而然地，小的洛伦兹空间
l
p
,
q
l_{p,q}
lp,q 就被定义为如下范数有界的变量构成的空间，
∥
x
∥
l
p
,
q
:
=
{
(
∑
n
=
1
∞
[
n
1
/
p
x
∗
(
n
)
]
q
1
n
)
1
/
q
,
0
<
q
<
∞
sup
n
1
/
p
x
∗
(
n
)
,
q
=
∞
\\|x\\|_{l_{p, q}}:=\\left\\{\\begin{array}{ll} \\left(\\sum_{n=1}^{\\infty}\\left[n^{1 / p} x^{*}(n)\\right]^{q} \\frac{1}{n}\\right)^{1 / q}, & 0<q<\\infty \\\\ \\sup n^{1 / p} x^{*}(n), & q=\\infty \\end{array}\\right.
∥x∥lp,q:={(∑n=1∞[n1/px∗(n)]qn1)1/q,supn1/px∗(n),0<q<∞q=∞
离散序列的重排实际上就是从大到小的排序。
在这样的定义下，
l
p
,
∞
l_{p, \\infty}
lp,∞ 空间（弱
l
p
l_p
lp 空间），实际上就是所有满足如下关系的序列的集合，
x
∗
(
n
)
≤
M
n
−
1
/
p
x^{*}(n) \\leq M n^{-1 / p}
x∗(n)≤Mn−1/p
这个可以被等价地写为，
#
{
n
:
∣
x
(
n
)
∣
>
y
}
≤
M
p
y
−
p
\\#\\{n:|x(n)|>y\\} \\leq M^{p} y^{-p}
#{n:∣x(n)∣>y}≤Mpy−p
小波系数刻画函数空间
向 L p L_p Lp 扩展
之前我们介绍了
L
2
L^2
L2 空间多自变量的小波函数，如果把它推广到
L
p
L^p
Lp 空间怎样呢? 它可以这样定义，
ψ
I
,
p
e
:
=
∣
I
∣
−
1
/
p
+
1
/
2
ψ
I
e
,
I
∈
D
,
e
∈
E
\\psi_{I, p}^{e}:=|I|^{-1 / p+1 / 2} \\psi_{I}^{e}, \\quad I \\in D, e \\in E
ψI,pe:=∣I∣−1/p+1/2ψIe,I∈D,e∈E
那么它的对偶分解，就可以写为，
f
=
∑
I
∈
D
∑
e
∈
E
c
I
,
p
e
(
f
)
ψ
I
,
p
e
,
c
I
,
p
e
(
f
)
:
=
⟨
f
,
ψ
~
I
,
p
′
e
⟩
f=\\sum_{I \\in D} \\sum_{e \\in E} c_{I, p}^{e}(f) \\psi_{I, p}^{e}, \\quad c_{I, p}^{e}(f):=\\left\\langle f, \\tilde{\\psi}_{I, p^{\\prime}}^{e}\\right\\rangle
f=I∈D∑e∈E∑以上是关于小波分析七小波分析与非线性逼近（下）的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章