小波分析六小波分析与非线性逼近(上)

Posted 陆嵩

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【小波分析】六、小波分析与非线性逼近(上)

神经网络与小波分析相结合, 分形几何与小波分析相结合是国际上研究的热点之一。基于神经网络的智能处理技术, 模糊计算、进化计算与神经网络结合的研究, 没有小波理论的嵌人很难取得突破。非线性科学的研究正呼唤小波分析, 也许非线性小波分析是解决非线性科学问题的理想工具。

对偶

回忆一下,在线性代数中,如果给定 R n \\mathbb{R}^n Rn 空间的一组基,不妨设为 e k \\mathbf {e}_k ek,每个 k k k 对应于一个 n n n 维的列向量,它们不必是单位向量,也不必是正交的。那么,给定空间的一个向量 v \\mathbf v v,它在每个 e k \\mathbf{e}_k ek 上的系数,就等于 v \\mathbf{v} v e k \\mathbf{e}_k ek 对偶上的内积。即
v = ∑ k = 1 n ( v , e ~ k ) e k \\mathbf{v} = \\sum_{k=1}^{n} (\\mathbf{v},\\mathbf {\\tilde {e}}_k) \\mathbf{e}_k v=k=1n(v,e~k)ek

其中, ( ⋅ , ⋅ ) (\\cdot,\\cdot) (,) 表示向量内积。 e ~ k \\mathbf {\\tilde {e}}_k e~k 表示 e k \\mathbf{e}_k ek 的对偶(在这组基的意义下),即
( e j , e ~ k ) = δ j , k . (\\mathbf{e}_j,\\mathbf {\\tilde {e}}_k) = \\delta_{j,k}. (ej,e~k)=δj,k.

δ \\delta δ 表示 Kronecker delta 函数, j = k j=k j=k 为 1, j ≠ k j\\neq k j=k 为零。

理解一下,我们要找一个向量在一组基下的表示,无非就是要找到这组基张成的矩阵的逆,所谓的对偶,其实本质上反映的就是基向量张成的空间的逆。当基函数是标准正交基的时候,它张成的矩阵是个酉矩阵,那么它的逆本质上就等同于自身,此时, e ~ k = e k \\mathbf {\\tilde {e}}_k=\\mathbf{e}_k e~k=ek

把它推广到函数空间,也是一样的。在 L 2 ( R ) L^2(\\mathbb{R}) L2(R) 空间中定义对偶 φ ~ k \\tilde{\\varphi}_k φ~k

< φ j , φ ~ k > : = ∫ R φ j φ ~ k d x = δ j k <\\varphi_j, \\tilde{\\varphi}_k> := \\int_{\\mathbb{R}} \\varphi_j \\tilde{\\varphi}_k \\mathrm{d} x=\\delta_{j k} <φj,φ~k>:=Rφjφ~kdx=δjk

那么,任意的 f ∈ L 2 ( R ) f \\in L^2(\\mathbb{R}) fL2(R),我们有

f = ∑ k = 1 n < f , φ ~ k > φ k . f = \\sum_{k=1}^{n} <f, \\tilde{\\varphi}_k> \\varphi_k. f=k=1n<f,φ~k>φk.

非常干净,非常简洁的表示。在理论分析上很有用。

插值空间

这里直接给出插值空间 ( X , Y ) θ , q (X, Y)_{\\theta, q} (X,Y)θ,q 的定义,它是满足以下半范有限的所有的 f f f 的集合:
∣ f ∣ ( X , Y ) θ , q : = { ( ∫ 0 ∞ [ t − θ K ( f , t ) ] q d t t ) 1 / q , 0 < q < ∞ sup ⁡ t > 0 t − θ K ( f , t ) , q = ∞ |f|_{(X, Y)_{\\theta, q}}:=\\left\\{\\begin{array}{ll} \\left(\\int_{0}^{\\infty}\\left[t^{-\\theta} K(f, t)\\right]^{q} \\frac{\\mathrm{d} t}{t}\\right)^{1 / q}, & 0<q<\\infty \\\\ \\sup _{t>0} t^{-\\theta} K(f, t), & q=\\infty \\end{array}\\right. f(X,Y)θ,q:={(0[tθK(f,t)]qtdt)1/q,supt>0tθK(f,t),0<q<q=

这里的 K K K 泛函定义为,
K ( f , t ) : = K ( f , t ; X , Y ) : = inf ⁡ g ∈ Y ∥ f − g ∥ X + t ∣ g ∣ Y K(f, t):=K(f, t ; X, Y):=\\inf _{g \\in Y}\\|f-g\\|_{X}+t|g|_{Y} K(f,t):=K(f,t;X,Y):=gYinffgX+tgY
这里的 Y Y Y 是连续地嵌入到 X X X 里面,即
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