线性代数行列式计算之元素拆分与凑项法

Posted 2021-08-23 ShenLiang2025

线性代数行列式计算之拆分凑项法

声明与简介

线性代数行列式计算之拆项法与凑项法是行列式计算里的小技巧，拆项法是能应用行列式可变成多个行列式的性质，凑项法则是将现有行列式凑成拆项法以便计算最终结果。

拆分(项)法

拆分法即是根据行列式的性质对行列式按照的某行(列)按照拆项的方式组合出新的行列式之和。详见如下例题：

已知n阶行列式

 计算n阶行列式：

#1 思路

Step1 先观察行列式的特点，再整理思路

Step2 我们对行列式进行仔细观察后不难发现行列式里的每个元素都是两个子元素的和，而且从列上看都是相同的某个子元素，比如 。

Step3 根据行列式的性质，行列式里某行(列)由两个子式相加时可以将当前行(列)分拆为两个独立的行(列)再拼接上剩下的行(列)构成两个新的行列式再相加。

#2 实操

Step1：对第1列拆分出两个行列式之和，那么结果为：

 Step2：针对Step1里的右边的行列式做化提取公因子（这里 一般会是0）,再按照第1列按照代数余子式展开，那么上式可以表达为：

 Step3：同理我们对左边的行列式按照类似的方式 … 拆开，那么即会得到最终结果为：

即是

Step4：整理之后更为简化的写法是：

注意：1 该式子看时需要将x和求和乘做为整理看，因为有n个x所以再有个求和。

2 如果 … 都相等且等于x，那么上式的结果为：

3 这里的 指的是D的代数余子式，这里实际上是个有个小的证明(借鉴临位相减法)

凑项变换法普通

凑项变换法(普通)即是对行列式进行拼凑，转换为拆分(项)里的一般形式或者其它特殊行列式已知的结论，进而得到最终结果。详见如下例题：

计算n阶行列式

#1 思路

Step1 先观察行列式的特点，再整理思路

Step2 如果直接看这个式子很难发现“玄机”，这里需要有“拆分(项)法”里的基础，即行列式里每1行(列)构造出两个子元素（其中一个元素是通用的，这里不难发现是1-a）相加。

这时就会发现2可以拆分，即2=1+a+1-a。

Step3 整理出一般式后再利用“拆分(项)法”里的结论得最终结果。

#2 实操

Step1 凑项，重新定义该行列式。过程见下：

Step2 有“拆分(项)法”里的经验，我们不难发现每一行(列)都有相同项1-a,那么可以利用下式的通用结论进行计算。

Step3 计算step2里的D和其代数余子式，即有:

 

观察D可以发现其代数余子式 有如下特点：

1. i不等于j时 =0
2. i等于j时 =

Step4：由step2的结论再结合Step3 里的结论，不难得到最终结果，即：

凑项变换法推导

凑项变换法(推导)即是对行列式进行拼凑，转换为拆分(项)里的一般形式或者其它特殊行列式已知的结论，这里因为拆分元素时有对称性(某个元素可以，其它元素也行)，所以联立后会得到两个方程，两个未知数，进而得到最终结果。详见如下例题：

计算n阶行列式

#1 思路

Step1 先观察行列式的特点，再整理思路

Step2 如果直接看这个式子很难发现“玄机”，这里需要有“拆分(项)法”里的基础，即行列式里每1行(列)构造出两个子元素（其中一个元素是通用的，这里不难发现是b或者c）相加，即a=a-b+b、b=0+b和a=a-c+c、c=0+c。

#2 实操

Step1 凑项，重新定义该行列式先应用a=a-b+b、b=0+b。过程见下：

 

Step2 由拆分(项)法的结论Step1里的结果（即原行列式的值）等于下式：

Step3 整理Step里的式子，那么得到简化结果：

 Step4 重复Step1到3的操作，应用a=a-c+c、c=0+c，那么原行列式的值等价于：

Step5 联立Step3和Step4两个式子，进而得到最终结果：