线性代数行列式计算之升阶法

Posted 2021-07-06 ShenLiang2025

线性代数行列式计算之升阶法

声明与简介

线性代数行列式计算之升阶法是利用行列式展开式的性质（行列式等于某一行或列乘其对应的代数余子式）在原有的行列式上增加1行或列1和0，增加之后方便消除其它行或列，子行列式化成三角形或者更容易求的其它行行列式，最终达到降阶的目的。

升阶法

配1 0元素法

计算n阶行列式：

#1 思路

Step1 先观察行列式的特点，再整理思路

Step2 以第1列为轴，我们可以给行列式加上全为1的1列，对应行补充为0。

Step3 思路形成，通过之前介绍的方法对第2、3、4、5列进行消除，最后再通过行列式展开。

#2 实操

Step1:升阶，配出新的行和列，此行列式和原行列式值相同。见下图：

Step2: 保持第1列，行列式乘以倍数消除其它列（其它列部分元素化为0）。详细步骤见下图：

结果为：

Step3: 目前行列式里出现不少为0的元素，可以根据行列式展开的定义，沿第1列展开。

如下仅演示第1列第3行的元素展开，第1列的其它行类似。

该元素对应的代数余子式为:

,同理求出其它第1列其它元素的代数余子式并相加。

Step4:最终结果为：

 

配1 特定元素法 

计算n阶行列式

#1 思路

Step1 先观察行列式的特点，再整理思路

Step2 观察行列式不难发现如下规律：

第1行的每1列都有公因子 ,而第2行的每1列都有公因子

如果能构造合适的新行，那么就可以很方便的消除这些元素，进而降阶并求出最终结果。

#2 实操

Step1：有上述思路，可通过升阶法构造出新的行列式：

Step2： 针对新的行列式做化简、消除。

 结果为：

Step3：针对上式再做行列式展开，此时保持第1列不变，剩余每列乘 （i从1到n）加到第1列上去进行消除。

 结果为：

Step4：整理后得最终结果