线性代数之二------任意阶行列式的计算

Posted 2020-10-11 mtl6906

上一篇，我们讲到了二阶行列式的定义，接下来我们要将其拓展到任意阶的行列式。

在此之前，我们要讲一个叫做逆序数的东西，它与行列式的定义可谓是息息相关。

那么，什么是逆序数呢？

众所周知，任意一个大小为n的集合都可以排列成n!个序列，假定集合中的元素是可排序的，

那么我们将前i-1个数中，比第i个数大的数的个数累加之和就是逆序数。

下面给出其数学公式:

Sum(ak > ai)，其中，0 < k < i and  0 < i <= n

一个顺序序列的逆序数，是0。

一个逆序序列的逆序数(n-1)!。

另外，也是很重要的一点，我们将逆序数为奇数的排列叫做奇排列，为偶数的排列则叫做偶排列。

接下来，我们将了解到逆序数的作用。

我们先来看看三阶矩阵的计算公式:

| a11 a12 a13 |
| a21 a22 a23 |
| a31 a32 a33 |

上式可以表达为：

　det = a13a21a32 + a12a23a31 + a11a22a33 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32

仔细观察就会发现正数部分的列标都是偶排列，而负数部分的列标都是奇排列。

然后发现二阶行列式同样符合上述规则。

然后我们就可以推出行列式的通用计算公式:

Sum = (-1)^t*a1p1a2p2a3p3

其中t是列标的逆序数。

由此我们可以总结出任意阶的行列式的计算公式:

det(aij) = Sum((-1)^t * a1p1a2p2a3p3...anpn) (n!种排列)

因为交换相邻的两个元素，会改变序列的奇偶性，所以奇排列要置换为顺序序列需要奇数次，

偶排列置换为顺序序列需要偶数次。

由此我们可以将上式中的列标替换为行标，也就是公式:

det(aij) = Sum((-1)^t * ap11ap22ap33ap44...apnn)

恩...任意阶行列式的计算就讲到这里吧，下一篇我们介绍下行列式的一些性质吧。