线性代数行列式计算方法之三角法

Posted 2021-06-27 ShenLiang2025

                       线性代数行列式计算方法之三角法

三角法计算行列式

三角法是一种利用行列式的性质把原有的行列式转换为上三角、下三角、对角线的一种计算方法。

按列消除化成三角型

计算n+1阶行列式的值

解答详解 

#1 思路:
Step1:观察该行列式，发现内部的规律。
Step2:总结规律不难发现该行列式符合三角型的特点,即行列式上、下脚大量0，行列式第1行、第1列、对角线元素不为0。
Step3: 化成上三角，这里围绕第1列进行消除(即除第一个元素其余元素结尾0)

#2实操
Step1: 第n列的(-cn/an)倍加到第1列上去。
同理第2... n-1列。

Step2: 整理第1行第列的式子（以求和方式写出简化形式）

Step3:结合上三角角的性质（及行列式的值为对角线元素之积），则
得到最终结果：

同理如下例子也可以按照列消除化为三角形。

这里是n阶行列式D,其中，=max{i，n-j+1}。 

#1思路
Step1:将第i列的-1倍加到第j列上，这里j=i+1，i>1,j<n+1，则会化成：

Step2：再结合对角形行列式的性质得到最终结果: 

按行消除化成三角型

计算n+1阶行列式:

解答详解

#思路
第1行的-1倍加到第i行上去，这里 。则得

Step2不难得到最终结果,即

提取公因子按行消除化三角形

计算如下n阶行列式的值。

解答详解

#1思路
 
Step 0这里约定i代表行、j代表列，行列式用D(Determinat缩写)表示。
Step1 观察该行列式，发现内部的规律。
Step2 总结规律并用数学语言总结，这里不难发现
      1    D_ij = 0 当i=j时
      2	 D_ij = 1，当i≠j时
      3  某一行或列相加都等于n-1	
Step3 根据以上规律，着手利用行列式性质变换该行列式。
	 1 将每1个行或列加到第1行、列上去（根据性质，行列式值不变）。
	 2 提取公因子，则此时第第1行、列的元素全为1。
	 3 以第1行、列为轴，乘以-1分别加到其它列上去（根据性质，行列式值不变）
     4 化成下三角后，由下三角的性质直接得出结果。
 
#2实操
 
Step1 : 从2到n行执行操作:每一行对应元素加到第1行上去。

Step2 : 对第1行提取公因子n-1即可如下结果。

Step3 : 从2到n行执行操作:第1行的-1倍加到每一行对应元素上去。

Step4 : 此时根据上三角的特点，得最终结果即

提取公因子按列消除化三角形

计算4阶行列式的值。

解答详解

#1 思路
Step1 观察该行列式，总结其规律
Step2 不难发现每一列都加到第1列上会产生公因子x
Step3 提取公因子，然后以第1列为轴，分别与其它行做倍数消除。
#2 实操

Step1；第n列加到第1列上去，这里n为2、3、4。

Step2；提取公因子x，则有

Step3；第4行的-1倍加到第1、2、3行上去。

 

Step4；交换第1、4列，第2、3列则有

注:这里2次交换列是为了计算方便，选作。

Step5；根据上三角的性质，不难得到最终结果为