线性代数之极大无关组的求法

Posted 2022-12-13 ShenLiang2025

                                                 线性代数之极大无关组的求法

注：行列式常见计算方法链接汇总

三角法 、 降阶法  、迭代法  、拆分凑项法 、升阶法

极大无关组的定义

假设有向量组A： 的部分组   (这里k小于等于m，可从向量组里挑选)满足如下条件：

1. 部分组之间线性无关
2. 向量组里每个向量均可由该部分组线性表示。
3. 该向量组的向量个数最大

则称这样的部分向量组为极大线性无关组。不难发现，极大无关组有如下特点:

1. 任意两个极大无关组含向量个数是相同的。
2. 极大无关组不唯一

极大无关组的求法

向量组的极大无关组可通过试探（添加）法、淘汰法、初等变换法求解，本文将通过例子详细介绍求解的方法和步骤。

初等变换法

已知矩阵向量组

求其该向量组的的极大无关组和其它向量的线性表出。详细步骤见下：

 则这里箭头执行的列向量 为极大无关组，而

初等变换法步骤总结

Step1：原向量不论是行、还是列的，均按照列组成矩阵A

Step2：仅实施行初等变换，将矩阵A变成行简化阶梯型

Step3：首非零元所在的列即为极大无关组

Step4：其余向量按照列的倍数直接写出关系式

添加试探法

该法主要是逐个添加向量形成向量组，然后对向量组的无关性进行判断，如果无关则保留，相关则剔除，直至试探完所有的向量。详细见下例：

求向量组的一个极大无关组

解：

Step1：将  作为一组，对他们按照线性无关进行观察，因为两个向量对应元素不成比例，所以线性无关

 Step2： 此时将  纳入向量组，即 作为整体来考察线性无关性，此时我们可以联立方程 ，即通过求解该方程里的未知数来得出他们的线性相关性，如果无解，则说明线性相关，反之则线性无关。这里得出 ,即  线性相关。所以考察的向量组里剔除  。

Step3：此时将  纳入向量组,即  作为整体来考察线性无关性，按照类似Step2里方法知  线性无关。

Step4：此时再将  纳入向量组,不难发现  ，即  线性表示。

Step5：综上所述  是其中一个极大无关组。

注：这里极大无关组不唯一，这里只是其中一个。

排除法

该方法是通过线性方程组零解得唯一性来检验线性相关性，如果只有非零解则线性无关，如果有非零解则线性相关。

求下列向量组的一组极大无关组：

详细步骤见下：

Step1：所有的向量都加入向量组，考察线性方程组解的情况，则有下式：

，这里可以得到有非零解，即  ，那么我们可以得知 是线性相关的，即    这里即带入对应的x值即得出该结论。

Step2：这时去掉   ，按照Step1的思路利用线性方程组考察  的相关性，即考察  里x解的情况，这时发现有非零解  ，即  。

Step3：这时去掉  ,加入  ，即考察 里x解的情况，这时发现方程只有零解，那么  线性无关，所以  就是当前向量组的极大无关组，也即是该向量组的一组基。

补充说明

 1) 添加试探法、排除法因为操作的顺序不同，所以基(极大无关组)也会不同，但是基的个数，维数是相同的。

2) 针对初等变化法一般我们以列构成矩阵只做行变换，如果我们以行构成矩阵，那么只能做列变换。不可以在某个方法里同时进行行、列变换。