线性代数行列式计算方法之降阶法

Posted 2021-06-30 ShenLiang2025

声明与简介

线性代数行列式计算之降阶法一般针对于行列是0元素较多的情况，它的核心思想是对某行（列）能方便的进行行列式展开，即某行（列）元素与其代数余子式的乘积，而该行（列）元素为0的较多，对应的代数余子式又比较简单的求出（比如三角形的行列式）。

降阶法

代数余子式展开

计算n阶行列式：

 过程详解

#1 思路
Step1 先观察行列式的特点，再整理思路
Step2 以第1列为轴，不难发现它对应的代数余子式是个对角形。
Step3 思路形成，以第1列对应的两个元素a和b分别乘以对应的代数余子式得到该行列式。

 

# 实操
Step1:有上述思路所以，行列式D的计算方式转换为a乘其代数余子式加上b乘其代数余子式。

这里a的代数余子式为

Step2:而针对b展开时，需要分两步，展开时系数为

b的代数余子式系数类似a即为0，结果为

step3:所以最终结果为：

附录是元素b对应的余子式。

 行列临位错位相减

计算n阶行列式

 过程详解

#1 思路
Step1 先观察行列式的特点，再整理思路
Step2 观察行列式不难发现如下规律：出现了大量重复的a和d（尽管有系数上的差距）。这时优先考虑消除a，因为每一行（列）里的a是固定的，而d是动态（随元素位置变化）的。进而通过隔行（列）消除d，最终在余子式里化成三角形。

#2 实操

Step1：以行操作为例，第n-1行的-1倍加到第n行上去（等同于第n行减去第n-1行，一般我们用符合行列式性质的说法去描述，尽管有些绕口），同理第n-2行的-1倍加到第n-1行上去，直至第2行的-1倍加到第1行上去，最终第1行没法类似操作，即保留不动。

结果为：

Step2： 针对上式，以列方式观察第1行第1列的余子式，不难发现除第1列的其它列含大量重复的d（共n-1个），仅有一处元素对应位置不同，即第一列某处是d而其它列对应位置是-（n-1）d。

处理方法，将第1列的-1倍加到第2、3…n列上去。

结果为：

Step3：针对Step3，需要把第1列的d给消除掉，这时需要第2、3…n列的1/n倍加到第1列上去。

结果为：

Step4：针对行列式第1行第1列的余子式，不难发现是三角型的，这里我们用行列式的定义即可求出。如下图这个框起来的子行列式（记住E）每个元素都是-nd，这里我们以列作为正序数取，即列为1，2，3…来取b。

那么得到行列式E(n-1阶的)对角线元素对应的序号为

(n-1)1、(n-2)2、（n-3）3…1(n-1)

针对上述的逆序数，不能得出代数余子式系数: (n-1+1)(n-1)/2,而对象线相乘得

Step5:整理后最终结果为：

 行列临位错位相乘

计算n阶行列式

过程详解 

#1 思路
Step1 先观察行列式的特点，再整理思路
Step2 观察行列式不难发现如下规律：
行列的第1列提取公因子之后和其它列对应元素有个倍数差，利用这点可以实现清0。

#2 实操

Step1：提取第1列公因子 ，并将第1列的负倍加到其它各列上去，其中i从2到n。

结果为：

Step2再基于行列式展开式，对第n行元素展开，再结合三角形性质得最终结果：