模型降阶方法之 DEIM

Posted 2022-11-30 陆嵩

模型降阶方法之 DEIM

文章目录

• • 模型降阶方法之 DEIM
  • • 模型问题
    • POD 方法回顾
    • 离散经验插值方法
    • DEIM 误差界
    • DEIM 应用细节
    • 参考

POD 方法可以参考：
https://blog.csdn.net/lusongno1/article/details/125944587

POD 方法固有的局限性，使得无法很好地处理非线性项，所以必须有一个合适的方法处理非线性项。

模型问题

我们考虑的问题依然是，
$$\frac{d}{dt}\mathbf{y}(t)=\mathbf{Ay}(t)+\mathbf{F}(\mathbf{y}(t))$$
它对应的稳态问题是，
$$\mathbf{Ay}(\mu )+\mathbf{F}(\mathbf{y}(\mu ))=0$$
一些迭代法，比如牛顿法，需要雅克比矩阵。把 $(\mathbf{y}$ 看做变量，稳态问题对应的雅克比是，
$$\mathbf{J}(\mathbf{y}(\mu )):=\mathbf{A}+{\mathbf{J}}_{\mathbf{F}}(\mathbf{y}(\mu ))$$
其中，
$${\mathbf{J}}_{\mathbf{F}}(\mathbf{y}(\mu ))=\mathrm{diag}{F}^{\prime }\left({\mathbf{y}}_1(\mu )\right),\dots ,F^{\prime }\left({\mathbf{y}}_n(\mu )\right)$$

POD 方法回顾

根据之前提的 POD 方法，我们取 snapshot 矩阵 $\mathbf{Y}=\left[{\mathbf{y}}_1,\dots ,{\mathbf{y}}_{n_s}\right]$ 的奇异值分解，
$$\mathbf{Y}=\mathbf{V}\Sigma {\mathbf{W}}^T$$

取左奇异向量前 $k$ 列，

$${\mathbf{V}}_{\mathbf{k}}=\left[{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_k\right]$$

那么，上述的稳态问题和非稳态问题就约为了，

$$\frac{d}{dt}\tilde{\mathbf{y}}(t)=\underset{\tilde{\mathbf{A}}}{\underbrace{{\mathbf{V}}_k^T\mathbf{A}{\mathbf{V}}_k}}\tilde{\mathbf{y}}(t)+{\mathbf{V}}_k^T\mathbf{F}\left({\mathbf{V}}_k\tilde{\mathbf{y}}(t)\right)$$

$$\underset{\tilde{\mathbf{A}}}{\underbrace{{\mathbf{V}}_k^T\mathbf{A}{\mathbf{V}}_k}}\tilde{\mathbf{y}}(\mu )+{\mathbf{V}}_k^T\mathbf{F}\left({\mathbf{V}}_k\tilde{\mathbf{y}}(\mu )\right)=0$$

稳态问题的雅克比为，
$$\tilde{\mathbf{J}}(\tilde{\mathbf{y}}(\mu )):=\tilde{\mathbf{A}}+{\mathbf{V}}_k^T{\mathbf{J}}_{\mathbf{F}}\left({\mathbf{V}}_k\tilde{\mathbf{y}}(\mu )\right){\mathbf{V}}_k.$$

离散经验插值方法

离散经验插值方法（DISCRETE EMPIRICAL INTERPOLATION METHOD），简称 DEIM，是处理非线性项的一种方法。下面我们来介绍一下，它的计算流程，最后再来考虑它的原理。

如前所述，我们只要考虑非线性项，

$$\tilde{\mathbf{N}}(\tilde{\mathbf{y}}):=\underset{k\times n}{\underbrace{{\mathbf{V}}_k^T}}\underset{n\times 1}{\underbrace{\mathbf{F}({\mathbf{V}}_k\mathbf{y}}}$$

模型降阶方法之张量方法应用举例

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