模型降阶方法之 DEIM
Posted 陆嵩
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了模型降阶方法之 DEIM相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
模型降阶方法之 DEIM
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POD 方法可以参考:
https://blog.csdn.net/lusongno1/article/details/125944587
POD 方法固有的局限性,使得无法很好地处理非线性项,所以必须有一个合适的方法处理非线性项。
模型问题
我们考虑的问题依然是,
d
d
t
y
(
t
)
=
A
y
(
t
)
+
F
(
y
(
t
)
)
\\fracdd t \\mathbfy(t)=\\mathbfA \\mathbfy(t)+\\mathbfF(\\mathbfy(t))
dtdy(t)=Ay(t)+F(y(t))
它对应的稳态问题是,
A
y
(
μ
)
+
F
(
y
(
μ
)
)
=
0
\\mathbfA \\mathbfy(\\mu)+\\mathbfF(\\mathbfy(\\mu))=0
Ay(μ)+F(y(μ))=0
一些迭代法,比如牛顿法,需要雅克比矩阵。把
(
y
(\\mathbfy
(y 看做变量,稳态问题对应的雅克比是,
J
(
y
(
μ
)
)
:
=
A
+
J
F
(
y
(
μ
)
)
\\mathbfJ(\\mathbfy(\\mu)):=\\mathbfA+\\mathbfJ_\\mathbfF(\\mathbfy(\\mu))
J(y(μ)):=A+JF(y(μ))
其中,
J
F
(
y
(
μ
)
)
=
diag
F
′
(
y
1
(
μ
)
)
,
…
,
F
′
(
y
n
(
μ
)
)
\\mathbfJ_\\mathbfF(\\mathbfy(\\mu))=\\operatornamediag\\left\\F^\\prime\\left(\\mathbfy_1(\\mu)\\right), \\ldots, F^\\prime\\left(\\mathbfy_n(\\mu)\\right)\\right\\
JF(y(μ))=diagF′(y1(μ)),…,F′(yn(μ))
POD 方法回顾
根据之前提的 POD 方法,我们取 snapshot 矩阵
Y
=
[
y
1
,
…
,
y
n
s
]
\\mathbfY=\\left[\\mathbfy_1, \\ldots, \\mathbfy_n_s\\right]
Y=[y1,…,yns] 的奇异值分解,
Y
=
V
Σ
W
T
\\mathbfY=\\mathbfV \\Sigma \\mathbfW^T
Y=VΣWT
取左奇异向量前 k k k 列,
V k = [ v 1 , … , v k ] \\mathbfV_k=\\left[\\mathbfv_1, \\ldots, \\mathbfv_k\\right] Vk=[v1,…,vk]
那么,上述的稳态问题和非稳态问题就约为了,
d d t y ~ ( t ) = V k T A V k ⏟ A ~ y ~ ( t ) + V k T F ( V k y ~ ( t ) ) \\fracdd t \\tilde\\mathbfy(t)=\\underbrace\\mathbfV_k^T \\mathbfA \\mathbfV_k_\\tilde\\mathbfA \\tilde\\mathbfy(t)+\\mathbfV_k^T \\mathbfF\\left(\\mathbfV_k \\tilde\\mathbfy(t)\\right) dtdy~(t)=A~ VkTAVky~(t)+VkTF(Vky~(t))
V k T A V k ⏟ A ~ y ~ ( μ ) + V k T F ( V k y ~ ( μ ) ) = 0 \\underbrace\\mathbfV_k^T \\mathbfA \\mathbfV_k_\\tilde\\mathbfA \\tilde\\mathbfy(\\mu)+\\mathbfV_k^T \\mathbfF\\left(\\mathbfV_k \\tilde\\mathbfy(\\mu)\\right)=0 A~ VkTAVky~(μ)+VkTF(Vky~(μ))=0
稳态问题的雅克比为,
J
~
(
y
~
(
μ
)
)
:
=
A
~
+
V
k
T
J
F
(
V
k
y
~
(
μ
)
)
V
k
.
\\tilde\\mathbfJ(\\tilde\\mathbfy(\\mu)):=\\tilde\\mathbfA+\\mathbfV_k^T \\mathbfJ_\\mathbfF\\left(\\mathbfV_k \\tilde\\mathbfy(\\mu)\\right) \\mathbfV_k.
J~(y~(μ)):=A~+VkTJF(Vky~(μ))Vk.
离散经验插值方法
离散经验插值方法(DISCRETE EMPIRICAL INTERPOLATION METHOD),简称 DEIM,是处理非线性项的一种方法。下面我们来介绍一下,它的计算流程,最后再来考虑它的原理。
如前所述,我们只要考虑非线性项,
N
~
(
y
~
)
:
=
V
k
T
⏟
k
×
n
F
(
V
k
y
~
(
t
)
)
⏟
n
×
1
.
\\tilde\\mathbfN(\\tilde\\mathbfy):=\\underbrace\\mathbfV_k^T_k \\times n \\underbrace\\mathbfF\\left(\\mathbfV_k \\tilde\\mathbfy(t)\\right)_n \\times 1 .
N~(y~):=k×n
VkTn×1
F(Vky