数字信号处理序列傅里叶变换 ( 傅里叶变换物理意义 | 反应信号在整个数字角频率上的能量分布 )

Posted 2022-03-12 韩曙亮

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• 一、傅里叶变换物理意义

一、傅里叶变换物理意义

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$x(n)$ 序列 的 傅里叶变换 $X(e^{j\omega })$ 的 物理意义 :

傅里叶变换 : 根据 $x(n)$ 求 $X(e^{j\omega })$ ,

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(n)e^{-j\omega n}$$

傅里叶反变换 : 根据 $X(e^{j\omega })$ 求 $x(n)$ ,

$$x(n)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega k}d\omega$$

注意上面的

• $x(n)$ 是 序列 ,
• $X(e^{j\omega })$ 是 傅里叶变换 ;

傅里叶变换 物理意义 是 反应 信号 在 整个 数字角频率 $\omega$ 上的 能量 分布 的情况 ;

任何一个周期函数 , 都可以使用 $\sin$ 函数来组合 ;

任何一个函数 $x(n)$ 序列 , 都可以使用

$$x(n)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega k}d\omega$$

表示 ,

其中 $e^{j\omega k}$ 是 单位复指数序列 ,

$X(e^{j\omega })$ 是傅里叶变换 ,

${\int }_{-\pi }^{\pi }$ 积分 表示 求和的极限过程 , 无数个 " 数字角频率 $\omega$ " 在 $[-\pi ,\pi ]$ 中 带有不同 加权系数 的 " 单位复指数序列 $e^{j\omega n}$ " 求和过程 ;

这些 " 复指数序列 " 代表 不同的 " 频率分量 " ,

加权系数 $X(e^{j\omega })$ 称为 $x(n)$ 的 " 频谱密度函数 " ;

" $x(n)$ 序列 " 的 " 序列傅里叶变换 $SFT=X(e^{j\omega })$ " , 本质上是 该 " $x(n)$ 序列 " 的一种分解 ;

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$\cos {\omega }_{0}T$ 的 傅里叶变换 :

信号的所有能量都集中在 ${\omega }_0$ 上 ,

傅里叶变换 反应 信号能量 在 频率 上的分布情况 ,

如果能量无穷 , 则在某个频率点的值是 无穷的 ;