八皇后问题算法详解
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了八皇后问题算法详解相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
参考技术A 八皇后问题，是一个古老而著名的问题，是 回溯算法 的典型案例。该问题是国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于1848年提出：在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。 高斯 认为有76种方案。1854年在柏林的象棋杂志上不同的作者发表了40种不同的解，后来有人用图论的方法解出92种结果。本文的主要描述的是基于回溯算法思想的求解算法，并尽可能在细节上给予读者直观展示，以使得读者可以有更好的理解。抛砖引玉，如有错误请不吝赐教。
算法的关键在于用一个二维数组chess [ ] [ ] 来记录每一个位置(第 i 行第 j 列)是否合法（行列对角线上没有填皇后，对应于数组 chess [ i ] [ j ] 为 0），用一个一维数Queenplace [ ] 组来记录每一行上皇后的列标（比如Queenplace [ row ] =column 表示第 row 行第 column 列填入皇后）。
行数 i 从第一行开始，遍历每一列 j ，如果chess [ i ] [ j ] 为0，那么说明此位置可以填入皇后，则将chess中与此位置同行同列同对角线的value自增 1 并且在 数组Queenplace 中记录相应的坐标。然后递归计算每一行直到最后一行成功填入皇后并在此时打印棋盘 。最后进行回溯，恢复chess [ ] [ ] ，将chess中与此位置同行同列同对角线的value自减 1 并继续进行下一列的计算。
八皇后问题遗传算法实现(python版）
八皇后问题的遗传算法实现过程详解
1、八皇后问题描述
19 世纪著名的数学家Gauss 在1850 年提出八皇后问题后， 该问题成为各类语言程序设计的经典题目。八皇后问题要求在8×8 格的国际象棋上摆放八个皇后，使横、竖、斜方向上都不能有两个及两个以上皇后在同一条直线上， 问题也可以推广到N 个皇后。穷举法在问题规模不大的情况下还可适用，回溯法是求解此问题的经典算法。但N 皇后问题是个NP 难问题， 随着皇后数目的增多， 求解复杂度激增， 就需利用非常规的技术求解。遗传算法在求解一些NP 完全问题上得到了广泛地应用，本文用遗传算法求解八皇后问题，给出详细的实现过程。
2、基本遗传算法求解过程
基本遗传以初始种群为基点， 经过选择、交叉、变异操作生成新的种群，如此更新种群直到满足终止条件。其计算步骤如下：
（1） 将问题空间转换为遗传空间， 也就是编码；
（2）随机生成P 个染色体作为初始种群；
（3）染色体评价，也就是按确定的适应度函数
计算各个染色体的适应度；
（4）根据染色体适应度，按选择算子进行染色体的选择；
（5）按交叉概率进行交叉操作；
（6）按变异概率进行变异操作；
（7）返回（4）形成新的种群，继续迭代，直到满足终止条件。
基本遗传算法给出了基本框架， 针对求解的问题不同， 遗传算法在相应的计算步骤中有不同的设计。本文针对八皇后问题， 设计了相应的编码，适应度计算方法，交叉和变异操作。
3、用遗传算法求解八皇后问题实现过程详解
3.1 编码
遗传算法中传统的编码是二进制编码， 本文采用多值编码。染色体长度取决于皇后的个数。染色体中每个基因所处的位置表示其在棋谱中所在的行数， 基因值表示其所在的列数。如染色体40752613 表示：从0 开始数，第0 个4 表示在第零行的皇后在第4 列， 第1 个0 表示第一行的皇后在第0 列，以此类推。八皇后问题中皇后不能处于同行同列， 意味着染色体中0～7 的基因取值不能出现重复。
3.2 个体评价
染色体通常表示了问题的可行解， 对可行解进行遗传操作寻找最优解。但在八皇后问题中，染色体仅仅体现同行同列中未出现互攻， 在对角线上是否出现互攻还未做考虑。在对皇后的位置做比较的时候， 可以对两个棋子的行数差与列数差进行对比， 实现了互攻次数的统计。公式为：|绝对值((y2-y1)/(x2-x1)) |=1。公式中（x1，y1），(x2，y2)分别表示两个皇后所在的位置，即所在的行数和列数。当两个皇后的行数差与列数差比值的绝对值为1 的时候，两皇后在同一对角线上，即出现了互攻。每个染色体内的互攻次数为Value，初始值设为0；第0 行与1～7 行进行比较， 每出现一次互攻则Value 的值增加1；第1 行与2～7 行进行比较，以此类推来计算Value 值。当Value 为0 表示没有发生互攻，此染色体就是其中的一个可行解。当Value 不为0则进行适应度的计算。一般来说， 适应度越大越
好，而互攻次数为越小越好，所以可以将适应度的计算函数设置为：F=28-Value。
3.3 选择
选择使用的是经典的赌轮选择方法， 与基本遗传算法的实现无特别之处，此处不赘述。
3.4 交叉
经典的单点， 多点等交叉因染色体中不能出现重复的基因值，在该问题中不适用。本文使用部分匹配交叉，具体操作如下：
1)在染色体中随机选取两个点标记为y，
如：染色体a：01y24y3675；
染色体b：12y30y4576;
两个y 之间的基因段称为中间段， 记录其对应关系2-3，4-0；
2)对染色体a，b 的中间段进行交换，
形成染色体a\'：01y30y3675；染色体b\': 12y24y4576;
3) 利用对应关系，对染色体a\'， b\' 中间段外的基因进行交换，
形成 染色体a\'\'： 41y30y2675；
染色体b\'\': 13y24y0576;
交叉完成。
3.5 变异
采用多值编码后， 变异操作并不能通过简单的0，1 反转实现。
本文采取随机地选取染色体内的两个基因进行交换来实现。
例如随机选取的是
6 和1 两个基因，那么
变异前染色体： 7 （6） 5 4 3 2 （1） 0
变异后染色体： 7 （1） 5 4 3 2 （6） 0
3.6 终止策略
本文采用的终止策略为： 当群体中出现染色体的适应值为0 时， 即表示算法搜索到了一个可行解，终止算法。若算法运行设置的代数还未找到可行解，同样终止程序运行。
4、总结
本文详细介绍了用遗传算法求解八皇后问题的求解过程， 但要注意的是这只是其中的一种编码，交叉，变异等操作设计方法，还有许多其他的方法可以选择。对于各操作采取不同设计方案的遗传算法，其算法性能值得比较讨论。
1 # 2 # 遗传算法（八皇后问题） 3 # 最佳值28 4 import random 5 import numpy 6 7 8 N=8 #皇后数 9 Cluster_size=12 #默认种群大小 10 LASTG=100 #/*终止后代*/ 11 MRATE=0.8 #/*突变的概率*/ 12 array=numpy.zeros((Cluster_size,N)).astype(int) #染色体集合 13 narray=numpy.zeros((Cluster_size * 2,N)).astype(int) #下一代染色体集合 14 _array=numpy.zeros((Cluster_size,N)).astype(int)#array数组的副本 15 values=numpy.zeros(Cluster_size).astype(int) #评估数组 16 max_array=numpy.zeros(N).astype(int) #保存最佳数组 17 generation = 0 #记录代数 18 signal = -1 # 信号 19 max = -1 # 记录当前最优值 20 max_generation = -1 #记录当前最优值代数 21 22 23 24 class Struct: 25 key = numpy.zeros(N).astype(int) 26 values = numpy.zeros(N).astype(int) 27 28 29 rember=Struct() 30 31 32 def rndn(l): 33 rndno =random.randint(0,l-1) 34 return rndno 35 36 37 def copy_array(): 38 for i in range(Cluster_size): 39 for j in range(N): 40 _array[i][j]=array[i][j] 41 42 43 def output_copy_array(): 44 for i in range(Cluster_size): 45 for j in range(N): 46 print(_array[i][j],end=" ") 47 print() 48 49 50 def the_answer(values,size): 51 for i in range(size): 52 if values[i]==28: 53 return i 54 return -1 55 56 57 def judge(a,n): 58 value = -1 59 for i in range(n): 60 value = a[i] 61 j=i+1 62 while j<n: 63 if(value==a[j]): 64 return 0 65 j+=1 66 return 1 67 68 69 70 def count_collidecount(): 71 value=0 72 global signal 73 for i in range(Cluster_size): 74 for j in range(N): 75 x1=j 76 y1=array[i][j] 77 m=j+1 78 while m<N: 79 x2=m 80 y2=array[i][m] 81 if (abs((y2-y1)/(x2-x1))==1): 82 value+=1 83 m+=1 84 values[i]=28-value 85 value=0 86 signal= the_answer(values,Cluster_size) 87 88 89 90 def count_generation_collidecount(values,cluster_size): 91 value=0 92 for i in range(cluster_size): 93 for j in range(N): 94 x1=j 95 y1=narray[i][j] 96 m=j+1 97 while m<N: 98 x2=m 99 y2=narray[i][m] 100 if(abs((y2 - y1) / (x2 - x1))==1): 101 value+=1 102 m+=1 103 values[i]=28-value 104 value=0 105 106 107 # /************************/ 108 # /* selectp()函数 */ 109 # /* 父代的选择 */ 110 # /************************/ 111 def selectp(roulette,totalfitness): 112 acc=0 113 ball=rndn(totalfitness) 114 for i in range(Cluster_size): 115 acc+=roulette[i] 116 if (acc>ball): 117 break 118 return i 119 120 121 def takeoutrepeat( position): 122 signal=True 123 for i in range(N): 124 value = narray[position*2][i] 125 j=i+1 126 while j<N: 127 if (narray[position*2][j]==value): 128 # print("there have reapt number: "+str(position*2)) 129 signal=False 130 j+=1 131 for i in range(N): 132 value=narray[position*2+1][i] 133 j=i+1 134 while j<N: 135 if (narray[position*2+1][j]==value): 136 # print("there have reapt number: "+str(position*2+1)) 137 signal=False 138 j+=1 139 return signal 140 141 142 143 144 def judge_reapt(c, cluster): 145 value =0 146 arraysEqual =True 147 i=0 148 for j in range(cluster): 149 while (arraysEqual and i<N): 150 if (narray[c][i] !=_array[j][i]): 151 arraysEqual=False 152 i+=1 153 if(arraysEqual): 154 value+=1 155 else: 156 arraysEqual=True 157 i=0 158 159 if(value>0): 160 return False 161 else: 162 return True 163 164 165 166 167 # /************************/ 168 # /* selection()函数 */ 169 # /* 选择下一代 */ 170 # /************************ 171 172 def selection(): 173 global signal 174 global max_generation 175 global max 176 totalfitness=0 177 roulette=numpy.zeros(Cluster_size*2).astype(int) 178 acc=0 179 for i in range(Cluster_size): 180 totalfitness=0 181 count_generation_collidecount(roulette,Cluster_size*2) 182 c=0 183 while c<Cluster_size*2: 184 totalfitness+=roulette[c] 185 c+=1 186 signal=the_answer(roulette,Cluster_size*2) 187 188 while True: 189 ball =rndn(totalfitness) 190 acc=0 191 c=0 192 while c<Cluster_size*2: 193 acc+=roulette[c] 194 if acc>ball: 195 break 196 c+=1 197 judge=judge_reapt(c,Cluster_size) 198 if judge==True: 199 break 200 #/ *染色体的复制 * / 201 for j in range(N): 202 array[i][j]=narray[c][j] 203 204 for q in range(Cluster_size*2): 205 if roulette[q]>max: 206 max =roulette[q] 207 max_generation = generation 208 for i in range(N): 209 max_array[i]=narray[q][i] 210 print(roulette[q], end=" ") 211 print() 212 213 214 215 216 217 218 def judgein(m,location1,location2): 219 i=location1 220 while i<=location2: 221 if ((m == rember.key[i]) | (m == rember.values[i])): 222 return i 223 i+=1 224 return -1 225 226 227 228 229 230 231 # /************************/ 232 # /* crossing()函数 */ 233 # /* 特定2染色体的交叉 */ 234 # /************************/ 235 def crossing(mama, papa,position): 236 while True: 237 while True: 238 cp1 = rndn(N) 239 cp2 = rndn(N) 240 if cp1 != cp2: 241 break 242 # print("cp1="+str(cp1)+"cp2="+str(cp2)) 243 if cp1<cp2: 244 location1 = cp1 245 location2 = cp2 246 else: 247 location1 = cp2 248 location2 = cp1 249 250 i = location1 251 while i<=location2: 252 rember.key[i] = array[mama][i] 253 rember.values[i] = array[papa][i] 254 # 交换中间段 255 narray[position*2][i] = array[papa][i] 256 narray[position*2+1][i] = array[mama][i] 257 i+=1 258 # 利用对应关系，对染色体mama和papa, 中间段外的基因进行交换 259 #/ * 交换前半部分 * / 260 for j in range(location1): 261 weizhi = judgein(array[mama][j],location1,location2) 262 # print("weizhi= "+str(weizhi)) 263 if (weizhi == -1): 264 narray[position*2][j] = array[mama][j] 265 else: 266 if (array[mama][j] == rember.key[weizhi]): 267 narray[position*2][j] = rember.values[weizhi] 268 else: 269 narray[position*2][j] = rember.key[weizhi] 270 weizhi = judgein(array[papa][j], location1, location2) 271 if (weizhi == -1): 272 narray[position*2+1][j] = array[papa][j] 273 else: 274 if (array[papa][j] == rember.key[weizhi]): 275 narray[position*2+1][j] = rember.values[weizhi] 276 else: 277 narray[position*2+1][j] = rember.key[weizhi] 278 279 280 #/ *交换后半部分 * / 281 j = location2+1 282 while j<N: 283 weizhi = judgein(array[mama][j], location1, location2) 284 if (weizhi == -1): 285 narray[position*2][j] = array[mama][j] 286 else: 287 if (array[mama][j] == rember.key[weizhi]): 288 narray[position*2][j] = rember.values[weizhi] 289 else: 290 narray[position*2][j] = rember.key[weizhi] 291 weizhi = judgein(array[papa][j],location1,location2) 292 if (weizhi == -1): 293 narray[position*2+1][j] = array[papa][j] 294 else: 295 if (array[papa][j] == rember.key[weizhi]): 296 narray[position*2+1][j] = rember.values[weizhi] 297 else: 298 narray[position*2+1][j] = rember.key[weizhi] 299 j+=1 300 301 signal = takeoutrepeat(position) 302 # print("--------------signal= "+str(signal)) 303 if (signal != False): 304 break 305 306 307 308 309 310 311 # /************************/ 312 # /* notval()函数 */ 313 # /* */ 314 # /************************/ 315 def notval(i): 316 while True: 317 position1 =rndn(N) 318 position2 =rndn(N) 319 if position1 != position2: 320 break 321 temp=narray[i][position2] 322 narray[i][position2] = narray[i][position1] 323 narray[i][position1] =temp 324 325 326 327 328 # /***********************/ 329 # /* mutation()函数 */ 330 # /* 突变 */ 331 # /***********************/ 332 def mutation(): 333 for i in range(Cluster_size*2): 334 if (rndn(100) / 100 <= MRATE): 335 #/ *染色体突变 * / 336 notval(i) 337 print("mutation is complete") 338 339 340 341 342 343 def mating(): 344 totalfitness =0 345 roulette=numpy.zeros(Cluster_size).astype(int) 346 print(len(roulette)) 347 # 生成轮盘 348 for i in range(Cluster_size): 349 roulette[i] = values[i] 350 totalfitness += roulette[i] 351 # 选择和交叉的循环 352 for i in range(Cluster_size): 353 while True: 354 mama=selectp(roulette,totalfitness) 355 papa=selectp(roulette,totalfitness) 356 if mama != papa: 357 break 358 # 特定2染色体的交叉 359 crossing(mama,papa,i) 360 361 362 363 def outputrember(): 364 for i in range(N): 365 print("key= "+rember.key[i]+"values= "+rember.values[i]) 366 367 368 369 370 def outputnarray(): 371 for i in range(Cluster_size*2): 372 if (i % 2 ==0): 373 print("------------------------------") 374 for j in range(N): 375 print(narray[i][j],end=" ") 376 print() 377 378 379 380 381 def output(): 382 global max 383 global max_generation 384 for i in range(Cluster_size): 385 if values[i]>max: 386 max =values[i] 387 max_generation=max_generation 388 print(values[i],end=" ") 389 print() 390 391 392 393 394 def outputarray(): 395 for i in range(Cluster_size): 396 for j in range(8): 397 print(array[i][j], end =" ") 398 print() 399 400 401 402 403 404 def init_Cluster(): 405 print(\'fsadsgagasgs\') 406 a=[0 for n in range(8)] 407 count=0 408 while count < Cluster_size: 409 for y in range(8): 410 x= random.randint(0,7) #产生0到7的随机数 411 a[y]=x 412 if(judge(a,8)): 413 for i in range(8): 414 array[count][i]=a[i] 415 else: 416 count=count-1 417 count+=1 418 419 420 421 422 423 def main(): 424 global generation 425 init_Cluster() 426 while generation<LASTG: 427 八皇后问题遗传算法实现(python版）