八皇后问题是啥问题呀

Posted 2023-03-26

　　这就是著名的八皇后问题。八个皇后在排列时不能同在一行、一列或一条斜
　　线上。在8!=40320种排列中共有92种解决方案。

　　“八皇后”动态图形的实现

　　八皇后问题是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型例题。该问题是十九世纪著名的数学家高斯1850年提出：在8X8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。
　　高斯认为有76种方案。1854年在柏林的象棋杂志上不同的作者发表了40种不同的解，后来有人用图论的方法解出92种结果。
　　对于八皇后问题的实现，如果结合动态的图形演示，则可以使算法的描述更形象、更生动，使教学能产生良好的效果。下面是笔者用Turbo C实现的八皇后问题的图形程序，能够演示全部的92组解。八皇后问题动态图形的实现，主要应解决以下两个问题。

　　1．回溯算法的实现
　　（1）为解决这个问题，我们把棋盘的横坐标定为i，纵坐标定为j,i和j的取值范围是从1到8。当某个皇后占了位置(i,j)时，在这个位置的垂直方向、水平方向和斜线方向都不能再放其它皇后了。用语句实现，可定义如下三个整型数组：a[8],b[15],c[24]。其中：

　　a[j-1]=1 第j列上无皇后
　　a[j-1]=0 第j列上有皇后
　　b[i+j-2]=1 (i,j)的对角线（左上至右下）无皇后
　　b[i+j-2]=0 (i,j)的对角线（左上至右下）有皇后
　　c[i-j+7]=1 (i,j)的对角线（右上至左下）无皇后
　　c[i-j+7]=0 (i,j)的对角线（右上至左下）有皇后

　　（2）为第i个皇后选择位置的算法如下：

　　for(j=1;j<=8;j++) /*第i个皇后在第j行*/
　　if ((i,j)位置为空)） /*即相应的三个数组的对应元素值为1*/
　　占用位置（i,j） /*置相应的三个数组对应的元素值为0*/
　　if i<8
　　为i+1个皇后选择合适的位置；
　　else 输出一个解
　　

　　2．图形存取
　　在Turbo C语言中，图形的存取可用如下标准函数实现：

　　size=imagesize(x1,y1,x2,y2) ;返回存储区域所需字节数。
　　arrow=malloc(size);建立指定大小的动态区域位图，并设定一指针arrow。
　　getimage(x1,y1,x2,y2,arrow);将指定区域位图存于一缓冲区。
　　putimage(x,y,arrow,copy)将位图置于屏幕上以（x，y）左上角的区域。

　　3． 程序清单如下

　　＃i nclude <graphics.h>
　　＃i nclude <stdlib.h>
　　＃i nclude <stdio.h>
　　＃i nclude <dos.h>
　　char n[3]=0,0;/*用于记录第几组解*/
　　int a[8],b[15],c[24],i;
　　int h[8]=127,177,227,277,327,377,427,477;/*每个皇后的行坐标*/
　　int l[8]=252,217,182,147,112,77,42,7;/*每个皇后的列坐标*/
　　void *arrow;
　　void try(int i)
　　int j;
　　for (j=1;j<=8;j++)
　　if (a[j-1]+b[i+j-2]+c[i-j+7]==3) /*如果第i列第j行为空*/
　　a[j-1]=0;b[i+j-2]=0;c[i-j+7]=0;/*占用第i列第j行*/
　　putimage(h[i-1],l[j-1],arrow,COPY_PUT);/*显示皇后图形*/
　　delay(500);/*延时*/
　　if(i<8) try(i+1);
　　else /*输出一组解*/
　　n[1]++;if (n[1]>9) n[0]++;n[1]=0;
　　bar(260,300,390,340);/*显示第n组解*/
　　outtextxy(275,300,n);
　　delay(3000);
　　
　　a[j-1]=1;b[i+j-2]=1;c[i-j+7]=1;
　　putimage(h[i-1],l[j-1],arrow,XOR_PUT);/*消去皇后，继续寻找下一组解*/
　　delay(500);
　　
　　
　　int main(void)
　　int gdrive=DETECT,gmode,errorcode;
　　unsigned int size;
　　initgraph(&gdrive,&gmode,"");
　　errorcode=graphresult();
　　if (errorcode!=grOk)
　　printf("Graphics error\n");exit(1);
　　rectangle(50,5,100,40);
　　rectangle(60,25,90,33);
　　/*画皇冠*/
　　line(60,28,90,28);line(60,25,55,15);
　　line(55,15,68,25);line(68,25,68,10);
　　line(68,10,75,25);line(75,25,82,10);
　　line(82,10,82,25);line(82,25,95,15);
　　line(95,15,90,25);
　　size=imagesize(52,7,98,38); arrow=malloc(size);
　　getimage(52,7,98,38,arrow);/*把皇冠保存到缓冲区*/
　　clearviewport();
　　settextstyle(TRIPLEX_FONT, HORIZ_DIR, 4);
　　setusercharsize(3, 1, 1, 1);
　　setfillstyle(1,4);
　　for (i=0;i<=7;i++) a[i]=1;
　　for (i=0;i<=14;i++) b[i]=1;
　　for (i=0;i<=23;i++) c[i]=1;
　　for (i=0;i<=8;i++) line(125,i*35+5,525,i*35+5);/*画棋盘*/
　　for (i=0;i<=8;i++) line(125+i*50,5,125+i*50,285);
　　try(1);/*调用递归函数*/
　　delay(3000);
　　closegraph();
　　free(arrow);
　　

　　八皇后问题的串行算法

　　1 八皇后问题

　　所谓八皇后问题,是在8*8格的棋盘上,放置8个皇后。要求每行每列放一个皇后,而且每一条对角线和每一条反对角线上不能有多于1个皇后,也即对同时放置在棋盘的两个皇后(row1,column1)和(row2,column2),不允许(column1-column2)=(row1-row2)或者(column1+row1)=(column2+row2)的情况出现。

　　2 八皇后问题的串行递归算法

　　八皇后问题最简单的串行解法为如下的递归算法:

　　(2.1)深度递归函数:

　　go(int step,int column)

　　int i,j,place;

　　row[step]=column;

　　if (step==8)

　　outputresult( ); /*结束递归打印结果*/

　　else /*继续递归*/

　　for(place=1;place<=8;place++)

　　for(j=1;j<=step;j++)

　　if(collision(j ,row[j],step+1,place))

　　/*判断是否有列冲突、对角线或反对角线*/

　　goto skip_this_place;

　　go(step+1,place);

　　skip_this_place:;

　　

　　

　　/* go */

　　(2.2)主函数:

　　void main( )

　　int place,j;

　　for(place=1;place<=8;place++)

　　go(1,place);

　　/* main */

　　八皇后问题的并行算法

　　该算法是将八皇后所有可能的解放在相应的棋盘上,主进程负责生成初始化的棋盘，并将该棋盘发送到某个空闲的子进程,由该子进程求出该棋盘上满足初始化条件的所有的解。这里，我们假定主进程只初始化棋盘的前两列，即在棋盘的前两列分别放上2个皇后,这样就可以产生8*8=64个棋盘。

　　1 主进程算法

　　主进程等待所有的子进程,每当一个子进程空闲的时侯，就向主进程发送一个Ready(就绪)信号。主进程收到子进程的Ready信号后,就向该子进程发送一个棋盘。当主进程生成了所有的棋盘后,等待所有的子进程完成它们的工作。然后向每个子进程发送一个Finished信号,打印出各个子进程找到的解的总和，并退出。子进程接收到Finished信号也退出。

　　2 子进程算法

　　每个子进程在收到主进程发送过来的棋盘后,对该棋盘进行检查。若不合法,则放弃该棋盘。子进程回到空闲状态,然后向主进程发送Ready信号,申请新的棋盘;若合法,则调用move_to_right(board,rowi,colj)寻找在该棋盘上剩下的6个皇后可以摆放的所有位置,move_to_right(board,rowi,colj)是个递归过程, 验证是否能在colj列rowi行以后的位置是否能放一个皇后。

　　1)首先将more_queen设置成FALSE；

　　以LEAF,TRUE和FLASE区分以下三种情况:

　　A)LEAF:成功放置但是已到边缘,colj现在已经比列的最大值大1,回退两列,检查是否能将待检查皇后放在哪一行:如果能,把more_queen设成TRUE;

　　B)TRUE:成功放置皇后,检查这一列是否能有放置皇后的其他方式,如有,把more_queen设成TRUE;

　　C)FALSE:不能放置,回退一列再试,如果能把more_queen设成TRUE ,如果皇后已在最后一行,必须再检查上一列。

　　2)如果more_queens=TRUE,仍需再次调用move_to_right(),为新棋盘分配空间,用xfer()将现有棋盘拷贝到nextboard，并进行下列情况的处理：

　　TRUE:得到一个皇后的位置,增大列数再试；

　　FALSE:失败,如果more_queen为真, 取回棋盘,保存上次调用的棋盘。将列数减小,取走皇后,增加行数,再调用move_to_right()；

　　LEAF:得到一种解法,solution增一,将解法写入log_file,由于已到边缘,列数回退1,检查是否放置一个皇后,如果能,新加一个皇后后,调用move_to_right；如果不能,检查more_queen如果more_queen为真,将棋盘恢复到上次调用时保存的棋盘,将待检查的皇后下移,调用move_to_right。

　　八皇后问题的高效解法-递归版

　　// Yifi 2003 have fun! : )

　　//8 Queen 递归算法
　　//如果有一个Q 为 chess[i]=j;
　　//则不安全的地方是 k行 j位置,j+k-i位置,j-k+i位置

　　class Queen8

　　static final int QueenMax = 8;
　　static int oktimes = 0;
　　static int chess[] = new int[QueenMax];//每一个Queen的放置位置

　　public static void main(String args[])
　　for (int i=0;i<QueenMax;i++)chess[i]=-1;
　　placequeen(0);
　　System.out.println("\n\n\n八皇后共有"+oktimes+"个解法 made by yifi 2003");
　　

　　public static void placequeen(int num) //num 为现在要放置的行数
　　int i=0;
　　boolean qsave[] = new boolean[QueenMax];
　　for(;i<QueenMax;i++) qsave[i]=true;

　　//下面先把安全位数组完成
　　i=0;//i 是现在要检查的数组值
　　while (i<num)
　　qsave[chess[i]]=false;
　　int k=num-i;
　　if ( (chess[i]+k >= 0) && (chess[i]+k < QueenMax) ) qsave[chess[i]+k]=false;
　　if ( (chess[i]-k >= 0) && (chess[i]-k < QueenMax) ) qsave[chess[i]-k]=false;
　　i++;
　　
　　//下面历遍安全位
　　for(i=0;i<QueenMax;i++)
　　if (qsave[i]==false)continue;
　　if (num<QueenMax-1)
　　chess[num]=i;
　　placequeen(num+1);
　　
　　else //num is last one
　　chess[num]=i;
　　oktimes++;
　　System.out.println("这是第"+oktimes+"个解法 如下:");
　　System.out.println("第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8");

　　for (i=0;i<QueenMax;i++)
　　String row="第"+(i+1)+"行: ";
　　if (chess[i]==0);
　　else
　　for(int j=0;j<chess[i];j++) row+="--";
　　row+="++";
　　int j = chess[i];
　　while(j<QueenMax-1)row+="--";j++;
　　System.out.println(row);
　　
　　
　　
　　//历遍完成就停止 参考技术A 在8×8的国际象棋棋盘上放置8个皇后，要求任意两个皇后不能在同一行、同一列或同一条对角线上。 参考技术B 八皇后问题是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型例题。该问题是十九世纪著名的数学家高斯1850年提出：在8X8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。

高斯认为有76种方案。1854年在柏林的象棋杂志上不同的作者发表了40种不同的解，后来有人用图论的方法解出92种结果。事实上就是有92种解法。 参考技术C 晕

八皇后问题

八皇后问题

Python Algortithm
八皇后问题是一个以国际象棋为背景的问题：如何能够在8×8的国际象棋棋盘上放置八个皇后，使得任何一个皇后都无法直接吃掉其他的皇后？为了达到此目的，任两个皇后都不能处于同一条横行、纵行或斜线上。八皇后问题可以推广为更一般的n皇后摆放问题：这时棋盘的大小变为n×n，而皇后个数也变成n。

历史

八皇后问题最早是由国际象棋棋手马克斯·贝瑟尔（Max Bezzel）于1848年提出。第一个解在1850年由弗朗兹·诺克（Franz Nauck）给出。并且将其推广为更一般的n皇后摆放问题。诺克也是首先将问题推广到更一般的n皇后摆放问题的人之一。
在此之后，陆续有数学家对其进行研究，其中包括高斯和康托，1874年，S.冈德尔提出了一个通过行列式来求解的方法，这个方法后来又被J.W.L.格莱舍加以改进。
1972年，艾兹格·迪杰斯特拉用这个问题为例来说明他所谓结构化编程的能力[3]。他对深度优先搜索回溯算法有着非常详尽的描述。
八皇后问题在1990年代初期的著名电子游戏第七访客和NDS平台的著名电子游戏《雷顿教授与不可思议的小镇》中都有出现。

代码

#!/usr/bin/env python2
# -*- coding: utf-8 -*-
"""


@author: gsharp
"""
#* queen problem with recurison
BOARD_SIZE = 8
 
def under_attack(col, queens):
   left = right = col
   for r, c in reversed(queens):
 #左右有冲突的位置的列号      
       left, right = left - 1, right + 1
 
       if c in (left, col, right):
           return True
   return False
 
def solve(n):
   if n == 0:
       return [[]]
 
   smaller_solutions = solve(n - 1)

   return [solution+[(n,i+1)]
       for i in xrange(BOARD_SIZE)
           for solution in smaller_solutions
               if not under_attack(i+1, solution)]
for answer in solve(BOARD_SIZE):
   print answer