线性方程组何时无解、有唯一解、有无穷多解问题

Posted 2023-02-24

假定对于一个含有n个未知数m个方程的非齐次线性方程组而言，若n<=m, 则有：

1）当方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等且均等于方程组中未知数个数n的时候，方程组有唯一解

2）当方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等且均小于方程组中未知数个数n的时候，方程组有无穷多解

3）当方程组的系数矩阵的秩小于方程组增广矩阵的秩的时候，方程组无解

（注：由于对于矩阵的秩有：maxR(A),R(B)<=R(A,B)，故不存在其它情形）

若n>m时，则按照上述讨论，

4）当方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等的时候，方程组有无穷多解

5）当方程组的系数矩阵的秩小于方程组增广矩阵的秩的时候，方程组无解

扩展资料：

非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：

（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B)，则方程组无解。

（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。

（3）设R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于  ，即可写出含n-r个参数的通解。

非齐次线性方程组  

有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(A)=rank(A, b)（否则为无解）。

非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(A)=n。

非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是rank(A)<n。（rank(A)表示A的秩）

一阶线性微分方程可分两类，一类是齐次形式的，它可以表示为y'+p(x)y=0，另一类就是非齐次形式的，它可以表示为y'+p(x)y=Q(x)。

齐次线性方程与非齐次方程比较一下对理解齐次与非齐次微分方程是有利的。对于非齐次微分方程的解来讲，类似于线性方程解的结构结论还是成立的。就是：非齐次微分方程的通解可以表示为齐次微分方程的通解加上一个非齐次方程的特解。

参考资料：百度百科-非齐次线性方程组

参考技术A

假定对于一个含有n个未知数m个方程的非齐次线性方程组而言，若n<=m, 则有：

当方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等且均等于方程组中未知数个数n的时候，方程组有唯一解。

当方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等且均小于方程组中未知数个数n的时候，方程组有无穷多解。

当方程组的系数矩阵的秩小于方程组增广矩阵的秩的时候，方程组无解。

定义

线性方程也称为一次方程，因为在笛卡尔坐标系上任何一个一次方程的表示都是一条直线。组成一次方程的每个项必须是常数或者是一个常数和一个变量的乘积。且方程中必须包含一个变量，因为如果没有变量只有常数的式子是算数式而非方程式。

如果一个一次方程中只包含一个变量（x），那么该方程就是一元一次方程。如果包含两个变量（x和y），那么就是一个二元一次方程，以此类推。

以上内容参考：百度百科-线性方程

参考技术B

假定对于一个含有n个未知数m个方程的非齐次线性方程组而言，若n<=m, 则有：

1）当方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等且均等于方程组中未知数个数n的时候，方程组有唯一解

2）当方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等且均小于方程组中未知数个数n的时候，方程组有无穷多解

3）当方程组的系数矩阵的秩小于方程组增广矩阵的秩的时候，方程组无解

（注：由于对于矩阵的秩有：maxR(A),R(B)<=R(A,B)，故不存在其它情形）

若n>m时，则按照上述讨论，

4）当方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等的时候，方程组有无穷多解

5）当方程组的系数矩阵的秩小于方程组增广矩阵的秩的时候，方程组无解

非齐次线性方程组  

有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(A)=rank(A, b)（否则为无解）。

非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(A)=n。

非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是rank(A)<n。（rank(A)表示A的秩）

扩展资料：

非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：

（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B)，则方程组无解。

（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。

（3）设R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于  ，即可写出含n-r个参数的通解。

对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若m<n，则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。

齐次线性方程组解的性质：

定理1 若x是齐次线性方程组  的一个解，则kx也是它的解，其中k是任意常数。

定理2 若x1,x2是齐次线性方程组  的两个解，则x1+x2也是它的解。

定理3 对齐次线性方程组  ，若r(A)=r<n，则  存在基础解系，且基础解系所含向量的个数为n-r，即其解空间的维数为n-r。

参考资料：百度百科---非齐次线性方程组

参考技术C

无解：系数行列式为0

唯一解：线性方程组的矩阵的列是满秩的，假设矩阵是m*n，它的秩等于n

无穷多解：线性方程组的矩阵的列是不满秩的，假设矩阵是m*n，它的秩小于n

解：写出该方程的增广矩阵：

2-λ 2 -2 1

2 5-λ -4 2

-2 -4 5-λ -λ-1

对增广矩阵进行初等行变换，获得矩阵的行最简形式：

1 0 (λ-9)/2 (λ-3)/2

0 1 1 1

0 0 (λ-10)*(λ-1) (λ-4)*(λ-1)

扩展资料

线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组(例如2元1次方程组）。对线性方程组的研究，中国比欧洲至少早1500年，记载在公元初《九章算术》方程章中。

线性方程组有广泛应用，熟知的线性规划问题即讨论对解有一定约束条件的线性方程组问题。

参考资料：百度百科-线性方程组

参考技术D 解：写出该方程的增广矩阵：
2-λ 2 -2 1
2 5-λ -4 2
-2 -4 5-λ -λ-1
对增广矩阵进行初等行变换，获得矩阵的行最简形式：
1 0 (λ-9)/2 (λ-3)/2
0 1 1 1
0 0 (λ-10)*(λ-1) (λ-4)*(λ-1)
讨论：
当λ=10时，系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，故方程组无解
当λ≠10且λ≠1时，系数矩阵的秩为3，增广矩阵的秩为3，故方程组有唯一解
当λ=1时，系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为2，故方程组有无穷多解
将λ=1代入矩阵的行最简形式：
1 0 -4 -1
0 1 1 1
0 0 0 0
先获得对应齐次方程的通解，即
（x1,x2,x3)T=C*(4,-1,1)T, C为任意常数
再获得该非齐次方程组的一个特解, 即：
（x1,x2,x3)T=(-1,1,0)T
故该方程组的通解为：
（x1,x2,x3)T=(-1,1,0)T+C*(4,-1,1)T本回答被提问者采纳