（模板）poj1681 高斯消元法求异或方程组（无解唯一解多解）

Posted 2020-12-01 frankchen831x

题目链接：https://vjudge.net/problem/POJ-1681

题意：类似于poj1222，有n×n的01矩阵，翻转一个点会翻转其上下左右包括自己的点，求最少翻转多少点能使得矩阵全0。

思路：

　　同样的可以枚举第一行的状态，这里不说了。

　　用高斯消元法来解这道题，每个点的状态表示一个变量，那么有n*n个方程，n*n个变量的方程组，用高斯消元法来解，可能存在无解，唯一解，多解的情况。多解的时候要枚举自由变元的状态。

AC代码：

/*
    poj1681
    开关问题，高斯消元法解异或方程组
    求最少要翻转的开关使得矩阵全0
    存在无解，唯一解，多解的情况
    多解时要枚举自由变元的状态
   */
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
using namespace std;

const int maxn=250;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int T,n,equ,var,a[maxn][maxn],x[maxn],free_xx[maxn];
int ans;
char s[20];

void init(){    //初始化
    memset(a,0,sizeof(a));
    for(int i=0;i<n;++i){
        for(int j=0;j<n;++j){
            int t=i*n+j;
            a[t][t]=1;
            if(i>0) a[t][(i-1)*n+j]=1;
            if(i<n-1) a[t][(i+1)*n+j]=1;
            if(j>0) a[t][i*n+j-1]=1;
            if(j<n-1) a[t][i*n+j+1]=1;
        }
    }
}

int Gauss(){
    int r=0,cnt=0;  //cnt表示自由变元个数
    for(int c=0;r<equ&&c<var;++r,++c){
        int Maxr=r;
        for(int i=r+1;i<equ;++i)
            if(abs(a[i][c])>abs(a[Maxr][c])) 
                Maxr=i;
        if(Maxr!=r){
            for(int i=c;i<var+1;++i)
                swap(a[Maxr][i],a[r][i]);
        }
        if(!a[r][c]){
            --r;
            free_xx[cnt++]=c;
            continue;
        }
        for(int i=r+1;i<equ;++i){
            if(!a[i][c]) continue;
            for(int j=c;j<var+1;++j)
                a[i][j]^=a[r][j];
        }
    }
    for(int i=r;i<equ;++i)
        if(a[i][var])
            return -1;    //无解
    return var-r;         //返回自由变元的个数,cnt=var-r
}

int solve(int t){
    ans=inf;
    for(int i=0;i<(1<<t);++i){  //枚举自由变元的状态
        int cnt=0;        //要翻转的个数
        memset(x,0,sizeof(x));
        for(int j=0;j<t;++j){
            if((i>>j)&1){
                ++cnt;
                x[free_xx[j]]=1;
            }
        }
        for(int j=var-t-1;j>=0;--j){
            int tmp=a[j][var],tp,ok=1;
            for(int k=j;k<var;++k){
                if(!a[j][k]) continue;
                if(ok){   //找主元
                    ok=0;
                    tp=k;
                }
                else{ 
                    tmp^=x[k];
                }
            }
            x[tp]=tmp;
            cnt+=x[tp];
        }
        ans=min(ans,cnt);  //取最小
    }
    return ans;
}

int main(){
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d",&n);
        init();
        equ=var=n*n;
        for(int i=0;i<n;++i){
            scanf("%s",s);
            for(int j=0;j<n;++j)
                if(s[j]==‘y‘) a[i*n+j][n*n]=0;
                else a[i*n+j][n*n]=1;
        }
        int t=Gauss();
        if(t==-1)
            printf("inf
");
        else 
            printf("%d
",solve(t));
    }
    return 0;
}