N元线性方程组AX=B无解的充要条件是?

Posted 2023-02-23

N元线性方程组AX=B无解的充要条件是：rank(A)不等于rank(A，B)，其中rank(A)是系数矩阵 A 的秩，rank(A，B) 是增广矩阵 (A,B) 的秩。

另外，非齐次线性方程组AX=B有解的充分必要条件是：系数矩阵A的秩等于增广矩阵(A，B)的秩，即rank(A)=rank(A，B)；非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(A)=n；非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是rank(A)<n。

非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解。

扩展资料：

非齐次线性方程组AX=B的求解步骤：

1、对增广矩阵B施行初等行变换，将其化为行阶梯形；

2、若R(A)<R(B)，则方程组无解；

3、若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形；

4、设R(A)=R(B)=r，把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，即可写出含n-r个参数的通解。

参考资料来源：百度百科-非齐次方程组

参考技术A

充要条件是r(A)＜r(A, B)

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先证“→”，即：N元线性方程组AX=B无解   →  r(A)＜r(A，B)

因为      r(A)≤maxr(A), r(B)≤r(A, B)

所以      r(A)≤r(A, B)            ①

又因为   r(A)=r(A, B)  → AX=B有解   

所以      AX=B无解 → r(A)≠r(A, B) 

因为      AX=B无解

所以      r(A)≠r(A, B)            ②

所以      r(A)＜r(A, B)      （由①②得）

所以   AX=B无解 →  r(A)<r(A, B) 

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再证 “←”即：r(A)＜r(A, B)   →  N元线性方程组AX=B无解

因为   AX=B有解   →   r(A)=r(A, B)

所以   r(A)≠r(A, B)  →  AX=B无解             ③

因为   r(A)<r(A, B)  → r(A)≠r(A, B)          ④

所以   r(A)<r(A, B)  →  AX=B无解      （由③④得）

综上   N元线性方程组AX=B无解的充要条件是r(A)＜r(A, B).

证毕！

参考技术B 非齐次线性方程组

有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(A)=rank(A, b)（否则为无解）。
有唯一解的充要条件是rank(A)=n。
有无穷多解的充要条件是rank(A)<n。（rank(A)表示A的秩）