求各种极限的方法

Posted 2022-08-18 Debroon

求各种极限的方法

• • 直接代入型
  • $\frac{\infty }{\infty }$ 型
  • • 解法：抓主要趋势
    • 解法：用洛必达法则
  • $\frac{0}{0}$ 型
  • • 解法：用等价无穷小代换
    • 解法：用洛必达法则
  • $\infty \cdot 0$ 型
  • 指数、底数都有 x 的极限
  • 函数的左右极限
  • • 需要求左右极限的情形

 

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直接代入型

• $\underset{x->3}{\lim }(x+1)$

x 的极限接近3，就是在 3 附近，我们直接把 x=3 代入 x+1 中计算，得 4.

有一些特例：

• $\frac{常数}{\infty }=0$
• $\frac{\infty }{常数}=\infty$
• $\frac{非零常数}{0}=\infty$
• ${\infty }^{>0}=\infty$
• ${\infty }^{<0}=\frac{1}{{\infty }^{>0}}=0$
• $n^{\infty }=0，0>n>1$
• $n^{\infty }=\infty ，n>1$

 

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$\frac{\infty }{\infty }$ 型

一些题目直接代入是无解的，比如 $\frac{\infty }{\infty }$ 型，算出来不是一个具体数字，而是一个趋势。

• $\underset{x->\infty }{\lim }\frac{x^{100}+x^{-1001}+x}{x^{1000}+2x}$

 

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解法：抓主要趋势

在很多个趋势（∞）里，我们要找到最大的那个趋势，因为那个才是影响最大的项。

$\frac{\infty }{\infty }$ 型，求解步骤：

• 找出趋势
• 看指数，分子、分母保留最大的趋势

$\underset{x->\infty }{\lim }\frac{x^{100}+x^{-1001}+x}{x^{1000}+2x}$

• = $\underset{x->\infty }{\lim }\frac{{\infty }^{100}+{\infty }^{-1001}+\infty }{{\infty }^{1000}+2\infty }$
• = $\underset{x->\infty }{\lim }\frac{\infty +0+\infty }{\infty +\infty }$
• = $\underset{x->\infty }{\lim }\frac{x^{100}}{x^{1000}}$
• = $\underset{x->\infty }{\lim }\frac{1}{x^{900}}$
• = $\underset{x->\infty }{\lim }\frac{1}{{\infty }^{900}}$
• = $\frac{1}{\infty }$
• = $0$
   

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解法：用洛必达法则

 

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$\frac{0}{0}$ 型

$\underset{x->0}{\lim }\frac{x}{sinx}=\frac{0}{0}$

当把 $x->0$ 代入式子后，会变成 $\frac{0}{0}$，也会出现无解的情况。

 

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解法：用等价无穷小代换

当某部分趋向 0 时，有五种情况：

第一种情况，$x->0，sinx=x$，

• lim ⁡ x − > 0 x s i n x = x x = 1 \\lim\\limits_x->0\\fracxsinx=\\fracxx=1 极限运算法则的注意事项，无限个无穷小和 分母为零的情况 不适用，不满足前提条件

  函数极限(1.1-1.46)

  O‘Stolz定理

  高数——多元函数

  高等数学 极限运算法则

  求jsp几种方法！