动态规划——递推求解

Posted 2021-08-01 牧空

动态规划的基本思想

动态规划和分治法有相似之处，也是将待求解问题分解成若干个子问题。与分治法不同的是，经动态规划划分的子问题往往不是相互独立的，如用分治法来解决这类问题，部分子问题会被重复计算多次。动态规划则是将已解决子问题的答案保存下来，在需要子问题答案的时候便可以直接获取，不需要重复计算，提高效率。

问题

递推求解中最最经典的就是斐波那契数列
用分治法使用递归完成，会重复计算多次，使用动态规划可以简化为如下

vector<int> dp(MAXN);
dp[0]=0;
dp[1]=1;
while(expression){
	dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
}

例题

N阶楼梯上楼问题

描述
N阶楼梯上楼问题：一次可以走两阶或一阶，问有多少种上楼方式。（要求采用非递归）
输入描述：
输入包括一个整数N,(1<=N<90)。
输出描述：
可能有多组测试数据，对于每组数据， 输出当楼梯阶数是N时的上楼方式个数。

分析:

• 当n>2时,考虑每种上台阶方式的最后一步,只能从n-1走到n或n-2走到n
• 那对于从n-1到n的走法数量就等于总阶数为n-1时的走法数量,由此可看出这是一个变形的斐波那契数列,即dp[n]=dp[n-1]+dp[n-2]

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>

#define MAXN 91

using namespace std;

long long dp[MAXN];

int main(int argc, char const *argv[])
{
    dp[0] = 0;
    dp[1] = 1;
    for (int i = 2; i < MAXN; i++)
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    int n;
    while (scanf("%d", &n) != EOF)
        printf("%lld\\n", dp[n]);
    return 0;
}