背包问题Ⅱ——是动态规划还是贪心算法？
Posted 小幸运bz
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了背包问题Ⅱ——是动态规划还是贪心算法？相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
，我们从0-1背包问题探索了两种动态规划方法，从蛮力枚举（递归）-带备忘递归（自顶向下法）-递推求解（自底向上的表格法）。其中，带备忘的递归方法和递推求解的方法都属于动态规划（dynamic programming），它们的核心在于如何高效地构建备忘录，进而提高问题求解的效率（在这里，“programming”指的是一种表格法，并非编写计算机程序）。
这两种方法既有相同也有不同之处，它们都是通过分解原始问题，找出小规模问题和大规模问题之间的关系，最后通过备忘录由子问题向原始问题扩展。它们之间的区别在于，带备忘的递归是自顶向下的递归+自底向上的反推，然而，递推求解忽略了带备忘递归中自顶向下的过程，只要自底向上的过程，所以更为高效。
虽然，我们已经学习了，并且它能够解决很多最优化问题，但是对于一些最优化问题来说，使用动态规划确有一点“杀鸡用牛刀”的感觉，明明还可以使用一种更简单、更高效的算法。贪心算法就是这样的算法，它在每一步都做出当时看起来最佳的选择，并寄希望这样的选择能够导致全局最优解。
下面我们就来看看贪心算法到底有多“贪心”？如何才能调出一杯最“贵”的饮料呢？
我记得上一篇小迷糊说，当遇到实际问题时，一定要先对其进行形式化定义。
为什么我觉得这两个问题的形式化定义好像哦！当部分背包问题中xi的取值为0或1时，就变成了0-1背包问题。那0-1背包问题是不是也可以用贪心算法来求解呢？
好像不太对哦，0-1背包用贪心策略并没有得到最优解，那部分背包呢？
如何证明此时贪心选择的正确性（每个步骤做出的贪心选择能生成全局最优解）呢？
通常来说，用替换法来证明每个子问题的贪心选择，假设存在（非贪心解的）最优解，如果它可以经过有限的步骤替换成贪心解，即证明此贪心解为最优解。
假设存在一个最优解S*，无论是最优解S*还是贪心解S’都会盛满液体，假设我们将两杯中的饮料都按照性价比由低到高排好顺序。如果在一开始都放入性价比最高的液体，并且放入的体积相同，则最优解和贪心解相同。假设在红色液体部分，放入最优解的体积少于贪心解（贪心解中只有最后一个物品是装不满的，其余能装入杯中的液体一定会全部装入杯中），如果我们把红框中的蓝色液体替换成（贪心解中的）红色液体，这样做是不亏的，因为红色液体的性价比高于蓝色液体（贪心解中液体按照性价比递减的顺序排序）。在剩下的子问题中当最优解与贪心解不等时，仍然用这种方法进行替换，最后我们发现把最优解替换成贪心解后，液体的总价值并没有减少，因此我们可以说贪心解不劣于最优解，即此贪心解为最优解。
那为什么0-1背包用贪心策略得不到最优解，而部分背包却可以呢？
首先它们的问题定义不同，0-1背包中的物品是不可分割的，而部分背包中的物品可分割。
这就导致贪心策略无法装满背包（还剩下3个体积无法再装入任何物体），空闲空间降低了方案的有效价值。而在0-1背包中，当我们考虑是否将一个商品装入背包时，必须比较包含此商品的子问题的解和不包含子问题的解(KnapsackSR(h,i,c)=max{KnapsackSR(h,i-1,c-vi)+pi,KnapsackSR(h,i-1,c)})才能做出选择。这会导致大量的重叠子问题——动态规划的标识。
贪心算法的一般步骤：提出贪心策略，证明策略正确。
虽然，贪心算法并不能保证最优解，但是对于很多问题确实可以求得最优解，而且是一种强有力的算法设计方法，可以很好地解决很多问题，但是我们一定要能够证明贪心算法的正确性，才可以使用贪心算法哦~
贪心or动态规划？
相同点：都具有最优子结构的性质（一个问题的最优解包含其子问题的最优解）——是能否应用动态规划和贪心算法的关键要素。
不同点：贪心选择时仅做出当前问题中看来最优的选择，而不必考虑子问题的解。
子问题 |
子问题的解 |
求解过程 |
|
贪心算法 |
最优子结构 |
不依赖 |
自顶向下 |
动态规划 |
最优子结构 |
依赖 |
自底向上 |
以上是关于背包问题Ⅱ——是动态规划还是贪心算法？的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章