[M博弈论] lc877. 石子游戏(博弈论+区间dp+好题+思维)

Posted 2021-07-28 Ypuyu

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• • 1. 题目来源
  • 2. 题目解析

1. 题目来源

链接：877. 石子游戏

2. 题目解析

本题可以偷鸡。

博弈论：

• 由于序列是偶数长度，且只能从两端开始选。假设下标从 1 开始，那么先手玩家一定能够在两端选择 一奇一偶 的下标，有两种情况。而后手玩家就只能在两端选择 同奇同偶 的下标。

• 所以，先手玩家在第一次操作时就能够计算 奇数下标和偶数下标 的和哪个大，每一次决策都限制后手玩家只能选择最优奇偶性序列的对立面即可。

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区间 dp：

• f[l, r] 表示在区间 [l, r] 之间先手玩家在最坏情况下的最大得分和后手玩家最大得分的差值。
• 如果 f[l, r] > 0 说明先手胜利，=0 则为平局，<0 则为先手失败
• 状态转移：当前玩家 f[i][j] 现在只能在 i 位置选，j 位置选。
  • 选择 i 位置的话，剩余的区间是 [i+1, j]，考虑 f[i+1][j] 这个状态，是选完 i 之后，此时的后手玩家作为先手玩家与目前的先手玩家的最大得分差值（有点扰，多读几遍），假设为 B-A，是针对后手玩家来讲最好的情况。那么先手玩家目前最坏的得分差值其实就是 A-B，相差一个负号，即先手玩家选完 i 位置的数后，最坏的得分差值就是 w[i]+(A-B) = w[i]-f[i+1][j]
  • 注意这是区间 dp，短区间的状态已经被计算出来了。 且长区间需要短区间的状态，也是区间 dp 的经典应用条件。
  • 同理，选择 j 的话，转移应该是 w[j]-f[i][j-1]。
• 最后只需要判断 f[0][n - 1]>0 即可知道是否先手必胜。

针对博弈论问题，若有必胜、必败存在，一定是在最坏情况下能必胜，那就一定能必胜。即只需要保证最坏情况下最好就能判断胜负状态。

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时间复杂度：$O(n^2)$ 、$O(1)$

空间复杂度：$O(1)$

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区间 dp $O(n^2)$

class Solution {
public:
    bool stoneGame(vector<int>& piles) {
        int n = piles.size();
        vector<vector<int>> f(n, vector<int>(n));

        for (int len = 1; len <= n; len ++ ) 
            for (int i = 0; i + len - 1 < n; i ++ ) {
                int j = i + len - 1;
                if (len == 1) f[i][j] = piles[i];
                else f[i][j] = max(piles[i] - f[i + 1][j], piles[j] - f[i][j - 1]);
            }
        
        return f[0][n - 1] > 0;
    }
};

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$O(1)$

class Solution {
public:
    bool stoneGame(vector<int>& piles) {
        return true;
    }
};