人工智能数学基础01--高等数学基础（极限）

Posted 2021-07-21 剑威

tags:

篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了人工智能数学基础01--高等数学基础（极限）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

极限定义

某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A （永远不能够等于A，但是取等于A 已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值” 。

数列

按照一定次序排列的一列数： $u_{1},u_{2},u_{3},...u_{n},...$ ，其中 $u_{n}$ 叫做通项。

对于数列 $\\left \\{ u_{n} \\right \\}$ ，如果当 n 无限增大时，其通项无限接近于一个常数A，则称该数列以A为极限，或称数列收敛于A，否则称数列为发散。

极限符号表示

$x\\rightarrow \\infty$ 表示：当 $\\left | x \\right |$ 无限增大时；

$x\\rightarrow +\\infty$ 表示：当 x 无限增大时；

$x\\rightarrow -\\infty$ 表示：当 x 无限减小时；

$x\\rightarrow x_{0}$ 表示：当 x 从 $x_{0}$ 的左右两侧无限接近于 $x_{0}$ 时；

$x\\rightarrow x_{0}^{+}$ 表示：当 x 从 $x_{0}$ 的右侧无限接近于 $x_{0}$ 时；

$x\\rightarrow x_{0}^{-}$ 表示：当 x 从 $x_{0}$ 的左侧无限接近于 $x_{0}$ 时；

极限存在的两个重要法则

夹逼定理

设：

在*的去心邻域内 $g(x)\\leqslant f(x)\\leqslant h(x)$ ；
$\\lim_{x\\rightarrow *}g(x)=\\lim_{x\\rightarrow *}h(x)=A$

则：

$\\lim_{x\\rightarrow *}f(x)=A$

注：

夹逼定理对于数列同样成立；
上面的A换成 $+\\infty$ 或者 $-\\infty$ ，定理也成立

单调有界定理

设数列 $\\left \\{u _{n} \\right \\}$ 单调增加（减少）且有上（下）界 M(m) ，则 $\\lim_{n \\to \\infty }u_{n}$ 存在，且 $\\leqslant M(\\geqslant m)$ 。

注：

单调有界定理对函数的极限也成立。

极限运算方法

运算法则（四则运算法则）

设： $\\lim_{x\\rightarrow *}u(x) =0$

$\\lim_{x\\rightarrow *}u(x)$ 存在且等于 A， $\\lim_{x\\rightarrow *}v(x)$ 存在且等于B。

则：

$\\lim_{x\\rightarrow *}(u(x)\\pm v(x)) = \\lim_{x\\rightarrow *}u(x)\\pm \\lim_{x\\rightarrow*}v(x) = A \\pm B$ ；
$\\lim_{x\\rightarrow *}(u(x)v(x))=(\\lim_{x\\rightarrow *}u(x)\\lim_{x\\rightarrow *}v(x))=AB$ ；
$\\lim_{x\\rightarrow *}(cu(x))=c\\lim_{x\\rightarrow *}u(x)=cA$ （c为常数）；
$\\lim_{x\\rightarrow *}\\frac{u(x)}{v(x)}=\\frac{\\lim_{x\\rightarrow *}u(x)}{\\lim_{x\\rightarrow *}v(x)} = \\frac{A}{B}$ （设 $B\\neq 0$ ）;
$\\lim_{x\\rightarrow *}u(x)=0$ ，并设在* 的去心邻域内有界，则 $\\lim_{x\\rightarrow *}k(x)u(x) =0$ 。

注：

如果 $\\lim_{x\\rightarrow *}u(x)$ 与 $\\lim_{x\\rightarrow *}v(x)$ 都不存在，那么 $\\lim_{x\\rightarrow *}(u(x)\\pm v(x))$ 不能写成 $\\lim_{x\\rightarrow *}u(x)\\pm \\lim_{x\\rightarrow *}v(x)$ ；
如果 $\\lim_{x\\rightarrow *}u(x) =0$ ， $\\lim_{x\\rightarrow *}v(x)=0$ ，那么求 $\\lim_{x\\rightarrow *}\\frac{u(x)}{v(x)}$ 不能用前面公式4.。

等价无穷小替换与等价无穷小的充要条件

等价无穷小替换定理

设：

$x\\rightarrow *$ 时， $\\alpha(x)\\sim a(x),\\beta (x)\\sim b(x)$

则：

$\\lim_{x\\rightarrow *}\\frac{\\alpha (x)\\gamma (x)}{\\beta (x)\\delta (x)} = \\lim_{x\\rightarrow *}\\frac{a(x)\\gamma (x)}{b(x)\\delta (x)}$

注：

上式的含义是，若上式右边存在，则左边等于右边；若上式右边为 $\\infty$ （或其他情形的不存在），则左边亦为 $\\infty$ （或其他情形的不存在）。
整个式子中的乘除因子可用等价无穷小替换求其极限，加、减时不能用等价无穷小替换，部分式子的乘除因子也不能用等价无穷小替换。

等价无穷小的充要条件

$x\\rightarrow *$ 时 $\\alpha(x)\\sim \\beta (x)$ 的充要条件是 $\\alpha (x)-\\beta (x)=o(\\beta (x))$ 。

例如： $x\\rightarrow 0$ 时， $x^{3} + x^{4}\\sim x^{3}$ 。这是因为 $(x^{3}+x^{4}) - x^{3} = x^{4}=o(x^{3})$ 。

洛必达法则

法则1

设：

${\\lim_{x\\rightarrow *}}f(x)=0,\\lim_{x\\rightarrow *}g(x)=0$ ；
与在 * 的去心邻域 U 内可导，且 $g^{'}(x)\\neq 0$ ；
$\\lim_{x\\rightarrow *}\\frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)}=A$ （或 $\\infty$ ），

则：

${\\lim_{x\\rightarrow *}\\frac{f(x)}{g(x)}} = \\lim_{x\\rightarrow *}\\frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)}$

法则2

设：

$\\lim_{x\\rightarrow *}f(x)=\\infty ,\\lim_{x\\rightarrow*}g(x)=\\infty$ ；
与在 * 的去心邻域 U 内可导，且 $g^{'}(x)\\neq 0$ ；
$\\lim_{x\\rightarrow *}\\frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)}=A$ （或 $\\infty$ ），

则：

${\\lim_{x\\rightarrow *}\\frac{f(x)}{g(x)}} = \\lim_{x\\rightarrow *}\\frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)}$

注：

条件1.是必须检查的，不是 $\\frac{0}{0}$ 型或 $\\frac{\\infty }{\\infty }$ 型就不能使用洛必达法则。

佩亚诺余项泰勒公式

设：

f(x) 在 $x=x_{0}$ 处存在阶导数

则：

有公式 $f(x)=f(x_{0}) + f^{'}(x_{0})(x-x_{0}) +\\frac{1}{2!}f^{''}(x_{0})(x-x_{0})^{2}+...+\\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_{0})(x-x_{0})^{n} + o((x-x_{0})^{n})$

其中

$\\lim_{x\\rightarrow*}\\frac{o((x-x_{0})^{n})}{(x-x_{0})^{n}}=0$ ，该公式称为在 $x=x_{0}$ 处的具有佩亚诺余项的阶泰勒公式，

$R_{n}(x) =o((x-x_{0})^{n})$ 称为佩亚诺余项。

利用积分和式求极限公式

设：

f(x) 在 $\\left [ 0,1 \\right ]$ 上连续， $u_{n} = \\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^{n}f(\\frac{i}{n})$ 或 $u_{n} = \\frac{1}{n}\\sum_{i=0}^{n-1}f(\\frac{i}{n})$ ，

则：

$\\lim_{n\\rightarrow \\infty }u_{n} = \\lim_{n\\rightarrow \\infty}\\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^{n}f(\\frac{i}{n}) = \\int_{0}^{1}f(x)dx$ 或者 $\\lim_{n\\rightarrow \\infty }u_{n} = \\lim_{n\\rightarrow \\infty}\\frac{1}{n}\\sum_{i=0}^{n-1}f(\\frac{i}{n}) = \\int_{0}^{1}f(x)dx$ 。

无穷

无穷小以0为极限， $\\lim_{x\\rightarrow\\infty }\\frac{1}{x}=0$ ，则 $\\frac{1}{x}$ 是 $x\\rightarrow \\infty$ 时的无穷小

无穷小的基本性质：

有限个无穷小的代数和仍是无穷小；
有限个无穷小的积仍是无穷小；
有界变量与无穷小的积仍是无穷小；
有限个无穷小之和不一定是无穷小；
无穷小的商不一定是无穷小；
极限有无穷小的关系： $\\lim_{x\\rightarrow x_{0}}f(x)=A$ 的充要条件，其中是 $x\\rightarrow x_{0}$ 时的无穷小。