人工智能数学基础01--高等数学基础（极限）
Posted 剑威
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了人工智能数学基础01--高等数学基础（极限）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
极限定义
某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A （ 永远不能够等于A，但是取等于A 已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值” 。
数列
按照一定次序排列的一列数：，其中
叫做通项。
对于数列
，如果当 n 无限增大时，其通项无限接近于一个常数A，则称该数列以A为极限，或称数列收敛于A，否则称数列为发散。
极限符号表示
表示：当 无限增大时；
表示：当 x 无限增大时；
表示：当 x 无限减小时；
表示：当 x 从 
的左右两侧无限接近于 时；
表示：当 x 从 的右侧无限接近于 时；
表示： 当 x 从 的左侧无限接近于 时；
极限存在的两个重要法则
-
夹逼定理
设：
- 在*的去心邻域内
； 
则：
注：
- 夹逼定理对于数列同样成立；
- 上面的A换成
或者 
，定理也成立
-
单调有界定理
设数列 
单调增加（减少）且有上（下）界
，则 
存在，且
。
注：
单调有界定理对函数的极限也成立。
极限运算方法
-
运算法则（四则运算法则）
设：
存在且等于 A， 
存在且等于B。
则：
；
；
（c为常数）；
（设 
）;
，并设在* 的去心邻域内
有界，则
。
注：
- 如果 与 都不存在，那么
不能写成
； - 如果，
，那么求
不能用前面公式4.。
-
等价无穷小替换与等价无穷小的充要条件
等价无穷小替换定理
设：
时，
则：
注：
- 上式的含义是，若上式右边存在，则左边等于右边；若上式右边为
（或其他情形的不存在），则左边亦为（或其他情形的不存在）。 - 整个式子中的乘除因子可用等价无穷小替换求其极限，加、减时不能用等价无穷小替换，部分式子的乘除因子也不能用等价无穷小替换。
等价无穷小的充要条件
时 
的充要条件是
。
例如：
时，
。这是因为
。
-
洛必达法则
法则1
设：
；
与 
在 * 的去心邻域 U 内可导，且
；
（或 ），
则：
法则2
设：
；- 与 在 * 的去心邻域 U 内可导，且；
- （或 ），
则：
注：
条件1.是必须检查的，不是 
型或 
型就不能使用洛必达法则。
-
佩亚诺余项泰勒公式
设：
在 
处存在 
阶导数
则：
有公式 
其中
，该公式称为在 处的具有佩亚诺余项的 阶泰勒公式，
称为佩亚诺余项。
-
利用积分和式求极限公式
设：
在 
上连续，
或 
，
则：
或者 
。
无穷
无穷小以0为极限，
， 则 
是 时的无穷小
无穷小的基本性质：
- 有限个无穷小的代数和仍是无穷小；
- 有限个无穷小的积仍是无穷小；
- 有界变量与无穷小的积仍是无穷小；
- 有限个无穷小之和不一定是无穷小；
- 无穷小的商不一定是无穷小；
- 极限有无穷小的关系：
的充要条件 
，其中
是 时的无穷小。
无穷小的比较：
假设有 
都是无穷小，即：
如果 
，则称 
是比 
高阶无穷小
如果
，则称 是比 低阶无穷小
如果
， 则称 与 是同阶无穷小
无穷大并不是一个很大的数，时相对于变换过程来说的。
或 
无穷大和无穷小的关系：在自变量变换的同一过程中，如果为无穷大，那么
为无穷小
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