人工智能数学基础01--高等数据基础（导数与微分）

Posted 2021-07-21 剑威

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了人工智能数学基础01--高等数据基础（导数与微分）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

导数

定义：

设 f(x) 在 $x=x_{0}$ 的某个邻域 $U(x_{0})$ 内有定义，并设 $x_{0} + \\Delta x\\in U(x_{0})$ 。

如果：

$\\lim_{\\Delta x\\rightarrow 0}\\frac{f(x_{0}+\\Delta x) - f(x_{0})}{\\Delta x}$ 存在，

则称：

f(x) 在 $x=x_{0}$ 处可导，并称上述极限为 f(x) 在 $x=x_{0}$ 处的导数

记为： (a,b)

$\\lim_{\\Delta x \\rightarrow 0}\\frac{f(x_{0}-\\Delta x)-f(x_{0})}{\\Delta x}=f^{'}(x_{0})=\\frac{\\mathrm{d} f(x)}{\\mathrm{d} x}\\mid_{x=x_{0}}$

若记 y=f(x) ，则在 $x_{0}$ 点的导数又可记成 $y^{'}(x_{0}), \\frac{\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} x}\\mid _{x=x_{0}},\\frac{\\mathrm{d} y(x)}{\\mathrm{d} x}\\mid_{x=x_{0}}$ 等等。

如果 f(x) 在区间 (a,b) 内每一点都可导，则称 f(x) 在 (a,b) 内可导， $f^{'}(x)$ 称为 f(x) 在 (a,b) 内的导函数，简称导数。

在定义式中，若记 $x=x_{0}+ \\Delta x$ ,则该式可改写为

$\\lim_{x\\rightarrow x_{0}}\\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=f^{'}(x_{0})$

注：

导数的定义式中，必须要有 $f(x_{0})$ ，并且其中的 f(x) 是 $x_{0}$ 附近的处的函数值，没有这些，就谈不上求导数，在按定义求导数时，必须注意。

举例说明

平均速度 $v=\\frac{s}{t}$ ，速度的概念是一个瞬时概念，但如何表示瞬时速度？

瞬时经过的路程 $\\Delta s = s(t_{0}+\\Delta t) - s(t_{0})$ ，那么这一小段的平均速度就是

$\\overline{v}=\\frac{\\Delta s}{\\Delta t} =\\frac{s(t_{0}+\\Delta t)-s(t_{0})}{\\Delta t}$

当 $\\Delta t \\rightarrow 0$ 时也就是瞬时的速度了：

$v(t_{0})=\\lim_{\\Delta t \\rightarrow 0} \\overline {v} = \\lim_{\\Delta t \\rightarrow 0}\\frac{\\Delta s}{\\Delta t} = \\lim_{\\Delta t \\rightarrow 0}\\frac{s(t+\\Delta t)-s(t_{0})}{\\Delta t}$

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