多项式02——整除
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了多项式02——整除相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
- 多项式01——一元多项式和运算
- 多项式02——整除
- 多项式03——最大公因式与互素
- 多项式04——标准分解式
- 多项式05——多项式函数
- 多项式07——有理系数和整系数多项式
定 义 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定义} }} 定义 设 f ( x ) , g ( x ) ∈ F [ x ] . f(x), g(x) \\in F[x] . f(x),g(x)∈F[x]. 若存在 h ( x ) ∈ F [ x ] , h(x) \\in F[x], h(x)∈F[x], 使得
f ( x ) = g ( x ) h ( x ) f(x)=g(x) h(x) f(x)=g(x)h(x)
则称 g ( x ) g(x) g(x) 是 f ( x ) f(x) f(x) 的因式, 或 g ( x ) g(x) g(x)整除 f ( x ) f(x) f(x), 或 f ( x ) f(x) f(x)可被 g ( x ) g(x) g(x) 整除, 记为 g ( x ) ∣ f ( x ) . g(x) \\mid f(x) . g(x)∣f(x). 否则称 g ( x ) g(x) g(x) 不能
整除 f ( x ) . f(x) . f(x).
性 质 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{性质 } }} 性质设 f ( x ) , g ( x ) , h ( x ) ∈ F [ x ] , f(x), g(x), h(x) \\in F[x], f(x),g(x),h(x)∈F[x], 则
(1) 反身性 f ( x ) ∣ f ( x ) ; f(x) \\mid f(x) ; f(x)∣f(x);
(2) 传递性 若 f ( x ) ∣ g ( x ) , g ( x ) ∣ h ( x ) , f(x)|g(x), g(x)| h(x), f(x)∣g(x),g(x)∣h(x), 则 f ( x ) ∣ h ( x ) ; f(x) \\mid h(x) ; f(x)∣h(x);
(3) 相伴性 若 f ( x ) ∣ g ( x ) f(x) \\mid g(x) f(x)∣g(x) 且 g ( x ) ∣ f ( x ) , g(x) \\mid f(x), g(x)∣f(x),则存在 0 ≠ c ∈ F , 0 \\neq c \\in F, 0=c∈F, 使得 f ( x ) = c g ( x ) . f(x)=c g(x) . f(x)=cg(x).此时称 f ( x ) , g ( x ) f(x), g(x) f(x),g(x) 为 相 伴 多 项 式 \\large\\color{#70f3ff}{\\boxed{\\color{green}{相伴多项式}}} 相伴多项式.
(4) 若 f ( x ) ∣ g ( x ) , f ( x ) ∣ h ( x ) , f(x)|g(x), f(x)| h(x), f(x)∣g(x),f(x)∣h(x), 则对任意 u ( x ) , v ( x ) ∈ F [ x ] , u(x), v(x) \\in F[x], u(x),v(x)∈F[x], 都有 f ( x ) ∣ g ( x ) u ( x ) + h ( x ) v ( x ) . f(x) \\mid g(x) u(x)+h(x) v(x) . f(x)∣g(x)u(x)+h(x)v(x).
定
理
\\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定理} }}
定理
(
(
( 带余除法
)
)
) 设
f
(
x
)
,
g
(
x
)
∈
F
[
x
]
f(x), g(x) \\in F[x]
f(x),g(x)∈F[x] 且
g
(
x
)
≠
0
,
g(x) \\neq 0,
g(x)=0,则存在唯一
q
(
x
)
,
r
(
x
)
∈
F
[
x
]
,
\\boldsymbol{q}(\\boldsymbol{x}), \\boldsymbol{r}(\\boldsymbol{x}) \\in \\boldsymbol{F}[\\boldsymbol{x}],
q(x),r(x)∈F[x], 使得
f
(
x
)
=
g
(
x
)
q
(
x
)
+
r
(
x
)
f(x)=g(x) q(x)+r(x)
f(x)=g(x)q(x)+r(x)
这里deg
r
(
x
)
<
deg
g
(
x
)
.
r(x)<\\operatorname{deg} g(x) .
r(x)<degg(x). 我们分别称
q
(
x
)
q(x)
q(x) 和
r
(
x
)
r(x)
r(x) 为
g
(
x
)
g(x)
g(x)除
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的商式和余式.
注
:
\\Large\\color{violet}{注 :}
注: 条件
d
e
g
r
(
x
)
<
deg
g
(
x
)
deg~r (x)<\\operatorname{deg} g(x)
deg r(x)<degg(x) 保证了唯一性.
若不然,
f
(
x
)
=
1
,
g
(
x
)
=
x
,
f
(
x
)
=
g
(
x
)
⋅
0
+
1
=
g
(
x
)
⋅
1
+
(
−
x
+
1
)
f(x)=1, g(x)=x, f(x)=g(x) \\cdot 0+1=g(x) \\cdot 1+(-x+1)
f(x)=1,g(x)=x,f(x)=g(x)⋅0+1=g(x)⋅1+(−x+1)
【证明】 存在性.
若 f ( x ) = 0 , f(x)=0, f(x)=0, 则令 q ( x ) = r ( x ) = 0 , q(x)=r(x)=0, q(x)=r(x)=0, 结论成立.
若 f ( x ) ≠ 0 , f(x) \\neq 0, f(x)=0, 对 deg f ( x ) \\operatorname{deg} f(x) degf(x) 做数学归纳法.
当deg
f
(
x
)
=
0
f(x)=0
f(x)=0 时 以上是关于多项式02——整除的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
,若
deg
g
(
x
)
=
0
,
\\operatorname{deg} g(x)=0,
degg(x)=0, 可设
f
(
x
)
=
a
0
,
g
(
x
)
=
b
0
f(x)=a_{0}, g(x)=b_{0}
f(x)=a0,g(x)=b0
令
q
(