时间序列分析：趋势时间序列分析 - AUTOREG过程和ESM过程

Posted 2021-05-02 SAS知识

上一篇文章介绍异常点检测和运用FORECAST过程建立趋势模型。今天，我们将介绍AUTOREG过程和ESM过程建立趋势模型。

AUTOREG过程

在使用ARIMA模型拟合时间序列时，对残差序列有个重要的假定，即残差序列是均值为零、方差相等的白噪声序列。换言之，成为残差序列要满足如下三个条件：

• 均值为零

• 具有纯随机性，即序列之间不存在任何相关性

• 具有方差齐性特征，即残差序列的方差是常数

如果方差齐性的假定不成立，那么残差序列的方差就不再是常数，它会随着时间的变化而变化，可以表示为时间的某个函数，这种情况被称作异方差。

在残差序列的这三个假定中，实现零均值的假定只需对序列进行中心化处理就可以，无须检验；纯随机性的假定可以通过构造统计量进行检验，也就是前面介绍的白噪声检验。只有第三个假定——方差齐性的假定，我们没有进行任何检验方法。对于平稳序列，方差齐性的条件是自动满足的；对于非平稳序列，在默认检验的情况下，是默认残差序列一定满足这个条件的。但是，实际上，这个假定条件并不总是满足。忽视异方差的存在会导致残差的方差被严重低估，继而致使参数显著性检验失去意义，导致模型的拟合精度受影响。在序列异方差和自相关的情况下，可以使用自回归误差模型进行预测。自回归误差模型的形式如下：

SAS提供了AUTOREG过程拟合自回归误差模型。AUTOREG过程还可以进行包括ADF检验在内的平稳性检验，并且集成了多种参数估计方法，如Yule-Walker估计、条件最小二乘估计法和极大似然估计法。使用AUTOREG过程进行预测的基本语法为：

其中：

• 分析变量表示需要预测的序列，相当于因变量；输入变量表示除了分析变量之外的其他对分析变量有影响的变量，相当于自变量，例如，例17.11中构造的变量_LINEAR_和_SQUARE_。

• 选项NLAG=n表示最多考虑n阶自回归误差项，选项BACKSTEP表示在对自回归误差项进行选择时，使用向后消除法，和线性回归中的BACKSTEP方法一样。

例17.14： 运用AUTOREG过程，拟合以下时间序列。

示例代码如下：

以上程序生成一个时间序列x，并作出了该时间序列的时序图，如图17.78所示。

图17.78 例17.14中序列X的时序图

该时间序列显然是非平稳的，对其进行一阶差分后，时序图如图17.79所示。

图17.79 例17.14中序列X进行1阶差分后的时序图

一阶差分后，序列的方差随着时间的变化越来越大，具有明显的异方差性质。

调用AUTOREG过程进行拟合，代码如下：

AUTOREG过程中将数据集work.exampleautoreg中的变量、计算出的预测值、95%置信上限和95%置信下限都保存到数据集work.Autoreg_demand，同时，将上下置信限和预测值的列名分别更改为了U95、L95和Forecast。

预测效果如图17.80所示。

图17.80 例17.14中序列X的预测效果图

其中，深色区域是预测值95%的置信区域，圆点是实际值，折线代表着预测值。从预测效果来看，AUTOREG过程很好地拟合了该时间序列。这里省略了AUTOREG过程中的参数估计和拟合诊断检验的输出内容。

需要注意的是，在AUTOREG过程中不能使用选项LEAD指定预测的期数，这是因为AUTOREG过程中包含输入变量，而过程自身是不能预测输入变量的。这一点和REG过程类似。因此，AUTOREG过程更加适合用于插值和推测。这里如果要用AUTOREG过程实现对未来的预测，需要对输入数据集work.Exampleautoreg进行扩充，并对输入变量t赋值。

此外，AUTOREG过程还可以拟合ARCH模型、GARCH模型和IGARCH模型等，有兴趣的读者可以查看SAS帮助文档进一步了解。

ESM过程

平滑法是进行进行趋势分析和预测时常用的一种方法。它是利用修匀技术，消弱短期随机波动对序列的影响，使序列平滑化，从而显示出变化的规律。它具有调节灵活、计算简便的特征，广泛应用于计量经济、人口研究等诸多领域。根据所用的技术不同，平滑法可以具体分为移动平均法和指数平滑法。

移动平均法的基本思想是对于一个时间序列，可以假定在一个比较短的时间间隔里，序列的取值是比较稳定的，它们之间的差异主要是由随机波动造成的。根据这种假定，可以用一定时间间隔内的平均值作为某一期的估计值。

但在实际生活中，我们会发现对大多数随机时间而言，一般都是近期的结果对现在的影响会大些，远期的结果对现在的影响会小些。为了更好地反映这种影响的作用，将考虑时间间隔对事件发展的影响，即各期权重随时间间隔的增大而对现在的影响呈指数衰减。这就是指数平滑法的基本思想。

SAS的ESM过程支持以下三大类（七小类）指数平滑模型：

• 带线性趋势的指数平滑模型

  a)         简单指数平滑模型

  b)        二次指数平滑模型，也称为Brown指数平滑模型

  c)         Holt线性指数平滑模型

  d)        阻尼趋势指数平滑模型

• 带季节性的指数平滑模型

  a)         季节指数平滑模型

• 带线性趋势和季节性的指数平滑模型

  a)         Winter加法指数平滑模型

  b)        Winter乘法指数平滑模型

初始值的取法有很多种，通常会以前n个观测的平均值作为初始值。从预测公式来看，在给定初始值后，简单指数平滑模型只依赖于过去的观测值和水平权重。我们在分析序列的时候，就是要根据实际观测值，估计出的合理取值。

在其他带趋势的指数平滑模型中，除了需要估计水平权重以外，有的还需估计趋势权重和阻尼权重ϕ；而在带季节性的指数平滑模型中，还需要估计季节权重。

调用ESM过程进行指数平滑建模的基本语法如下：

其中：

• 选项OUT=输出包含FORECAST语句中指定的分析变量预测值的数据集。

• 选项OUTET=输出包含参数估计、假设检验的统计量、p值等数据的数据集。

• 选项OUTFOR=输出包含实际值、预测值、置信上限、置信下限、残差、预测标准差的数据集。

• 选项OUTSTAT=输出包含模型拟合优度信息的数据集，便于用来进行不同模型的比较。

• 选项OUTSUM=输出汇总数据。

• FORECAST语句中选项MODEL有7种取值，分别对应7种不同类型的指数平滑模型，如表17.3所示。

表17.3 指数平滑模型汇总

例17.15：运用ESM过程，对demand序列进行预测。

示例代码如下：

在ESM过程中，用线性指数平滑模型拟合了序列demand，并输出了模型的参数估计和各种拟合统计量（如图17.81所示）。参数估计结果显示模型的趋势权重参数不显著。

图17.81 例17.15中序列DEMAND的线性指数平滑模型参数估计和拟合统计量报表

由于ESM过程的预测数据输出在work.outfor中，因此运用SPLOT过程输出的预测效果图如图17.82所示。

图17.82 例17.15中序列DEMAND的线性指数平滑模型预测效果图

本文结束，下一篇文章开始介绍季节时间序列模型。

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本文转自《深入解析SAS — 数据处理、分析优化与商业应用 》

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作者介绍

夏坤庄

《深入解析SAS — 数据处理、分析优化与商业应用》第一作者， SAS软件研究开发（北京）有限公司客户职能部总监。在承担研发工作的同时，夏及其团队负责对SAS非英语市场提供技术支持，并且与在美国及其它地区的团队一起，服务于SAS的SaaS/RaaS业务，同时提供和验证关于SAS产品和技术在应用领域的最佳实践。在加入SAS软件研究开发（北京）有限公司之前，夏就职于SAS中国公司，历任资深咨询顾问、项目经理、首席顾问、咨询经理，拥有丰富的咨询和项目实施经验。在长期的从业经历中，不但为SAS的金融行业客户成功实施了众多深受好评的项目，而且在近年领导实施了非金融行业的多个大数据分析项目。

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