时间序列分析：时间序列基本概念

Posted 2021-05-02 SAS知识

本系列文章将讨论如何建立、识别、拟合和检验时间序列模型，并结合SAS软件中的TIMESERIES过程、ARIMA过程、FORECAST过程、AUTOREG过程及ESM过程介绍如何对平稳时间序列和非平稳时间序列进行建模和预测。

在经济学、工程学、自然科学（特别是地球物理学和气象学）和社会科学等领域，被研究的对象在其发展过程中，由于受到各种偶然因素的影响，往往表现出某种随机性，它们常常被记录成一系列随时间而变化的数据序列。我们把按时间顺序生成的、等时间间隔的这种数据序列称为时间序列。

很多数据都是以时间序列的形式出现的，比如：某种产品的月度需求量、公路事故的周度数量、某化工过程每小时的产出量，等等。时间序列的一个本质特征就是相邻观测值之间具有相互依赖性，这种依赖特征具有很大的实用价值。时间序列分析就是对这种依赖性进行分析的技术。

后面我们会在系列文章中将讨论如何建立、识别、拟合和检验时间序列模型，并结合SAS软件中的TIMESERIES过程、ARIMA过程、FORECAST过程、AUTOREG过程及ESM过程介绍如何对平稳时间序列和非平稳时间序列进行建模和预测。

为了便于后面具体时间序列分析方法的介绍，本节中先介绍基本概念。

了解时间序列

如果一个时间序列中的时间是连续的，那么该时间序列就是连续的。如果时间是离散的，那么该时间序列就是离散的。因此，一个离散时间序列在时刻得到的观测值就可以记为。在本章中，仅仅考虑离散的时间序列。请注意，时间序列中的观测值是按照固定的时间间隔取得的，时间间隔可以是秒、分钟、小时、天等。

如果一个时间序列的取值取决于某些数学函数，如，则称该时间序列是确定性的。如果一个时间序列的未来值只能用概率分布的形式来描述，则表示该时间序列不具有确定性，称为统计时间序列。时间序列图，也称为时序图，就是一个二维坐标图，横坐标表示时间，纵坐标表示序列取值。时序图可以直观地帮助我们了解时间序列的一些基本分布特征。比如，图17.1就是一个时序图，该图展示了从1990年1月到2013年12月美国国内航线旅客数量（源数据可以从http://www.transtats.bts.gov网站上下载得到），每个圆圈代表着一个观测值。尽管在这个序列中有明确的上下波动形状，但是要想准确地预测下一个时段的值仍然是不可能的。这就是本章所关注的统计时间序列。

图17.1从1990年1月至2013年12月美国国内航线旅客数量

如果要考察美国国内航线的旅客数量，很明显是要考虑时间t的，所以可以把旅客数量表示为Y(t)。对每一个确定的时间Y(t0)，都是一个随机变量。理论上t的取值范围是(-∞, +∞)为无穷多个依赖于时间t的随机变量，我们称之为随机过程。

对随机过程Y(t)的值进行一次观测和记录，就可以得到在本章开始时所提到的一系列随时间而变化的数据序列，实际上该序列已经是一个确定（而非随机的）常规意义的函数Y(t)，我们称之为随机过程的Y(t)一个现实。当随机过程Y(t)的现实的时间参数为离散的，并且时间取值的间隔相等时，那么该现实就是一个时间序列在美国国内航线旅客数量的示例中，如果我们仅仅关心时间t为月份的情况，我们所记录到Y(t)的在1990年1月到2013年12月的一系列值，就是一个表示美国国内航线每个月份旅客数量的时间序列。

时间序列分析的目的是选择恰当的技术和方法，建立合适的随机过程模型，由时间序列的当前值和过去值对未来值进行预测，并解释和描述外部因素和异常干扰对于时间序列的影响，进而通过设计有效的控制方法对时间序列进行控制。

时间序列的数字特征

时间序列分析方法是根据时间序列观测间的依赖性特点，来建立模型，所以对该依赖性特征的识别很重要。用图形的方法可以在一定程度上识别时间序列的特征，且很直观。来看几组时序图，如图17.2至图17.4所示。 

图17.2时间序列1-因特尔公司股票月度成交量

图17.3时间序列2-国内天然原油月度产量

图17.4时间序列3-北京月度平均气温

在这些图形中：

• 时间序列1：该时间序列变化平稳，无明显的周期特征，无明显的趋势；

• 时间序列2：该时间序列有明显的增长趋势；

• 时间序列3：该时间序列变化平稳，但有明显的周期特征。

但是图形识别不是量化的标准，所以往往不够准确。

时间序列的数字特征是时间序列的重要统计特征，也是量化识别时间序列的重要依据。

也就是说，具有不同分布的时间序列可以有相同的均值函数、自协方差函数和自相关函数。但对于大量的实际应用而言，通过以上数字特征来掌握时间序列的统计特性已经足够了。时间序列分析正是通过分析时间序列的数字特征来分析时间序列的行为和特点的。

满足以下条件的时间序列称为平稳时间序列

换句话说，平稳时间序列的均值是常数，方差也是常数，序列没有明显的变化趋势，观测值始终围绕在同一个水平线上下波动。图17.2符合平稳时间序列的特征，图17.3是非平稳时间序列。

满足以下条件的时间序列称为白噪声序列，也称为纯随机序列：

从定义来看，白噪声序列是平稳时间序列中的特例。由于白噪声序列不同时刻的取值相互独立（从自相关函数判断），因此从已知的观测值不能对未来进行推断和预测，所以白噪声序列不能用来建立模型。图17.5是一个白噪声序列的时序图。

图17.5白噪声序列

平稳时间序列和白噪声序列在后面的讨论中将经常出现。

在实际应用中，由于信息的缺乏，我们往往不可能知道时间序列理论均值和自相关函数，但是通过样本，是可以计算样本的均值和样本的自相关函数的。

样本自相关函数可以作为时间序列自相关函数的一个估计。

本文结束，下一篇文章介绍常见平稳和非平稳模型。

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本文转自《深入解析SAS — 数据处理、分析优化与商业应用 》

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作者介绍

夏坤庄

《深入解析SAS — 数据处理、分析优化与商业应用》第一作者， SAS软件研究开发（北京）有限公司客户职能部总监。在承担研发工作的同时，夏及其团队负责对SAS非英语市场提供技术支持，并且与在美国及其它地区的团队一起，服务于SAS的SaaS/RaaS业务，同时提供和验证关于SAS产品和技术在应用领域的最佳实践。在加入SAS软件研究开发（北京）有限公司之前，夏就职于SAS中国公司，历任资深咨询顾问、项目经理、首席顾问、咨询经理，拥有丰富的咨询和项目实施经验。在长期的从业经历中，不但为SAS的金融行业客户成功实施了众多深受好评的项目，而且在近年领导实施了非金融行业的多个大数据分析项目。

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