平衡二叉树

Posted 2023-04-27

参考技术A

平衡二叉树(Height-Balanced Binary Search Tree)：他也是一种二叉排序树。平衡二叉树是一颗空树或者其中每个结点的左子树和右子树的高度差最多等于1的二叉排序树.这个解决平衡二叉树的算法是由两位俄罗斯数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年共同发明的，所以平衡二叉树也简称为AVL树。

平衡因子： 将二叉树上结点的左子树深度减去右子树高度的值称为平衡因子BF(Balanced Factor).那么平衡二叉树上所有结点的平衡因子只能是-1，0，1.

平衡二叉树实现原理：在构建二叉排序树的过程中，每当插入一个节点值，先检查是否因插入而破环了树的平衡性，如果破坏了就找出最小不平衡子树。在保持二叉排序树的前提下，调整最小不平衡子树种各个结点之间的链接关系，进行相应的旋转，使之成为新的平衡子树。

原平衡二叉树的平衡被打破后的四种旋转方法：
假设最小不平衡子树的根节点为被破坏结点，新插入的结点叫做破坏节点
1.RR旋转（右单旋）：破坏结点在被破坏节点的右子树的右边，因而叫做RR插入。

2.LL旋转（左单旋）：破坏节点在被破坏节点的左子树的左边，因而叫做LL插入。

3.LR旋转：破坏结点在被破坏节点的左子树的右边，因而叫做LR插入。

4.RL旋转：破坏节点在被破坏节点的右子树的左边，因而叫做RL插入。

上述四种旋转方式是根据结点的插入位置来命名的，有点绕口。我们不妨这样理解：
当进行RR插入时，就进行左旋操作。也就是对被破坏节点进行逆时针旋转，然后根据二叉排序树的特性对一些结点进行调整。

当进行LL插入时，就进行右旋操作。也就是对被破坏节点进行顺时针旋转，然后根据二叉排序树的特性对一些结点进行调整。

当进行RL插入时，就进行双旋操作。也就是先对最小不平衡子树中以被破坏结点为根节点的子树中做一次右旋转操作，以便让bf值和被破坏结点的bf值符号相同。然后对整颗最小不平衡子树做一次左旋转操作。

当进行LR插入时，就进行双旋操作。也就是先对最小不平衡子树中以被破坏结点为根节点的子树中做一次左旋转操作，以便让bf值和被破坏结点的bf值符号相同。然后对整颗最小不平衡子树做一次右旋转操作。

假设n个结点，则一颗平衡二叉树的深度为log以2为底n的对数。因而深度的数量级为logn。所以平衡二叉树的查找，删除，插入时间复杂度都为O(logn)。

⭐算法入门⭐《二叉树 - 平衡二叉树》简单01 —— LeetCode 110. 平衡二叉树

文章目录

• 一、题目
• • 1、题目描述
  • 2、基础框架
  • 3、原题链接
• 二、解题报告
• • 1、思路分析
  • 2、时间复杂度
  • 3、代码详解
• 三、本题小知识
• 四、加群须知

一、题目

1、题目描述

  给定一个二叉树，判断它是否是高度平衡的二叉树。本题中，一棵高度平衡二叉树定义为：一个二叉树每个节点 的左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1。
  样例输入： root = [3,9,20,null,null,15,7]
  样例输出： true

2、基础框架

• C语言 版本给出的基础框架代码如下：

bool isBalanced(struct TreeNode* root){
}

3、原题链接

LeetCode 110. 平衡二叉树

二、解题报告

1、思路分析

  需要实现一个函数，输入参数是一棵树的树根，要求能够返回这棵树的高度、以及它是否平衡。这样就可以通过递归调用左子树和右子树，然后根据左右子树的返回结果来决定这棵树的高度、是否平衡。
  树的高度 = max(左子树高度, 右子树高度) + 1;
  是否平衡 = |左子树高度 - 右子树高度| <= 1 && 左子树是否平衡 && 右子树是否平衡；

2、时间复杂度

  由于需要把所有结点都遍历一遍，所以时间复杂度为 $O(n)$。

3、代码详解

int max(int a, int b) {
    return a > b ? a : b;
}

void getTreeInfo(struct TreeNode* root, int* depth, bool* isBalanced) {
    int ldepth, rdepth;                            
    bool bLeftBan, bRightBan;
    if(root == NULL) {                             // (1)
        *depth = 0;                                    
        *isBalanced = true;
        return ;
    }

    getTreeInfo(root->left, &ldepth, &bLeftBan);   // (2)
    getTreeInfo(root->right, &rdepth, &bRightBan); // (3)

    *depth = max(ldepth, rdepth) + 1;              // (4)
    *isBalanced = bLeftBan && bRightBan && (abs(ldepth-rdepth) <= 1);
}

bool isBalanced(struct TreeNode* root){
    int depth;
    bool isBan;
    getTreeInfo(root, &depth, &isBan);
    return isBan;
}

• $(1)$ 返回空树的高度和平衡性；
• $(2)$ 递归计算左子树；
• $(3)$ 递归计算右子树；
• $(4)$ 根据左右子树的结果计算当前树的高度和平衡性；

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三、本题小知识

  平衡二叉树定义为：一个二叉树每个节点 的左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1。

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四、加群须知

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