树总结（二）平衡二叉树

Posted 2023-04-19

参考技术A

如上图所示：新插入结点 37 时，距离他最近的平衡因子绝对值超过 1 的结点是 58（58 结点左子树高度是 3 右子树高度是 1），所以从 58 开始以下的子树为 最小平衡子树

举例：
用 [3,2,1,4,5,6,7,10,9,8] 这个数组组成一个平衡二叉树。

下图图1 中。已经插入 3 个数，此时发现根结点的平衡因子变为了 2。已经是最小不平衡子树了。所以需要右转（ 左子树 - 右子树 = 正数；顺势转旋转 ）。如下图图2。

然后插入 4 数字。如下图图3。此时的平衡因子是 -1 符合平衡二叉树。

继续插入 5 数字。如下图图4。此时平衡被打破。结点 3 是最小不平衡子树。所以需要向左转（ 左子树 - 右子树 = 负数：逆时针旋转 ）。如下图图5。

继续插入数字 6 这时候发现根结点的平衡因子变为了 -2 （左子树 1 - 右子树 3）。需要逆时针旋转（ 左子树 - 右子树 = 负数：逆时针旋转 ）。如下图图6

旋转后发现 2 结点要放到 4 结点左子树，然而 4 结点本身存在左子树。因为这个时候 4 结点的左子树肯定比 2 结点大。所以放在 2 结点的右边。如下图图 7

继续插入数字 7 在6 结点的右子树上。5 结点的平衡因子就变为了 -2 逆时针旋转（ 左子树 - 右子树 = 负数：逆时针旋转 ）。结果如下图图8

继续插入数字 10 。平衡没有被打破。

继续插入数字 9 。发现平衡被打破，最小平衡子树的节点是 7 结点，最小平衡因子是 -2。应该逆时针选择（ 左子树 - 右子树 = 负数：逆时针旋转 ）。但是逆时针旋转完会发现，它不符合排序树，右子树比上级结点小。如下图图9

如何旋转呢？

看 7 结点的平衡因子是 -2 ，而 10 结点的平衡因子是 1 。

前面的所有旋转平衡因子要不都是正数，要不都是负数，所以先要统一两个结点平衡因子的正负号。

先旋转 10 结点子树。因为平衡因子是 1 所以顺时针转，然后在旋转最小平衡子树。如下图图10 。

继续插入数字 8。如下图图11

会发现 6 结点的平衡因子是 -2，而 9 结点的平衡因子是 1。

先旋转 9 结点的子树。9 结点的平衡因子是 1 所以顺时针（ 左子树 - 右子树 = 正数；顺势转旋转 ）。如下图图11

旋转后因为 7 结点有右子树，9 结点也有右子树，所以 7 结点右子树，加入 9 结点左子树。

然后在 6 结点和 7结点符号相同，如下图图12。6 结点平衡因子是 -2 所以逆时针旋转（ 左子树 - 右子树 = 负数：逆时针旋转 ）最终如下图图13

这里只是多加了一个 bf 平衡因子参数

这里只是旋转，不一定平衡

这里有解释一下 deepcopy 深拷贝。
因为在后面的插入时候使用递归的方法，不想 return 。
这里想直接修改传进来的 tree 这个树对象。
如果这里使用 tree = r 实际上是修改的旋转函数的内部变量 tree ， 而不是 tree 对象。
这里修改 tree 对象里面的内容，这样 python 认为你在修改 tree 对象。而不是函数它自己的参数。

下图是右旋的一个图示。图中标记变量的变化过程，和平衡因子的变化

左平衡旋转和右平衡旋转

下图是左平衡旋转变量和平衡因子的变化

下图是右平衡旋转变量和平衡因子的变化

这里需要说的是在插入的递归过程中。会判断最小不平衡子树。然后根据最小不平衡子树的根结点进行旋转。

判断二叉树是否平衡二叉树

题目

平衡二叉树的性质为：要么是一颗空树，要么任何一个节点的左右子树高度差的绝对值不超过1。给定一棵二叉树的头结点head，判断这棵二叉树是否为平衡二叉树。

难度：??

基础理解

以下是个人认为对概念叙述较为详细的参考链接：

• 对平衡二叉树的理解：判断二叉树是否为平衡二叉树
• 对先序、中序、后序遍历的理解：二叉树的实现及先序、中序、后序遍历

设计

概要设计

• 设计一个初始树节点模型
• 接收节点变量并判断是否为平衡二叉树的方法
• 如何判断是否为平衡二叉树
  • 包含对左右各分支节点的计数器，并以此相减，是否满足绝对值 <=1 的判断方法
  • 假若左分支的左节点或右节点不满足平衡二叉树，直接退出遍历过程
• 能改变假定 boolean 变量值的存储结构——数组

详细设计

初始树节点模型

   class Node {
        int value;
        Node left;
        Node right;

        Node(int value) {
            this.value = value;
        }
    }

布尔的判断，假定一个布尔首索引值true，通过判断平衡二叉树的具体方法将决定假定布尔值是否改变，调用该方法后，并返回布尔数组的首索引值。

    public boolean isBalance(Node node) {
        boolean[] booleans = new boolean[1];
        booleans[0] = true;
        getHeight(node, 0, booleans);
        return booleans[0];
    }

判断是否为平衡二叉树的具体方法

• 利用自身的回调完成对节点遍历，闭包将返回值传递給变量
• 如果（节点）左分支计数 l 减去右分支计数 r 绝对值大于1，则将数组首索引假定布尔值改变
• 此方法的判断true或false时，所返回的整型值是多少并不重要，重要的是能否影响到假定的布尔值，这将决定整个二叉树是否为平衡二叉树

    public int getHeight(Node node, int level, boolean[] booleans) {
        if (head == null) {
            return level;
        }
        int l = getHeight(node.left, level + 1, booleans);
        int r = getHeight(node.right, level + 1, booleans);

        if (Math.abs(l - r) > 1) {
            booleans[0] = false;
        }
        return Math.max(l, r);
    }

实现

import org.junit.Test;
/**
 * @author lorem
 */
public class BalanceTreeGoTest {
    class Node {
        int value;
        Node left;
        Node right;

        Node(int value) {
            this.value = value;
        }
    }

    public boolean isBalance(Node node) {
        boolean[] booleans = new boolean[1];
        booleans[0] = true;
        getHeight(node, 0, booleans);
        return booleans[0];
    }

    public int getHeight(Node node, int level, boolean[] booleans) {
        if (node == null) {
            return level;
        }
        int l = getHeight(node.left, level + 1, booleans);
        int r = getHeight(node.right, level + 1, booleans);

        if (Math.abs(l - r) > 1) {
            booleans[0] = false;
        }
        return Math.max(l, r);
    }

    @Test
    public void test() {
        Node node = new Node(1);
        node.left = new Node(2);
        node.right = new Node(3);
        node.left.left = new Node(4);
        node.left.left.left = new Node(5);
        System.out.println(isBalance(node));
    }
}

模拟过程

以此类二叉树为例，并结合代码演示推导过程

左分支推导同理