函数的大 O 是多少 (log n)^k

Posted 2023-02-18

【中文标题】函数的大 O 是多少 (log n)^k

【英文标题】：What is the big-O of the function (log n)^k

【发布时间】：2011-11-23 07:07:45

【问题描述】：

对于任何 k，函数 (log n)^k 的大 O 复杂度是多少？

【问题讨论】：

呃....是哪个，标题中的函数还是正文中的函数？

【参考方案1】：

它仍然是(log(n))^2。对数的幂次方已经是最低/最简单的形式了。

【参考方案2】：

运行时格式为 (log n)^k 的任何函数都是 O((log n)^k)。该表达式不能使用简单的转换简化为任何其他原始函数，并且很常见的是运行时为 O(n (log n)²) 的算法。具有这种增长率的函数称为 polylogarithmic。

顺便说一下，通常 (log n)^k 写成 log^k n，所以上述算法的运行时间为 O(n log^{2 n. 在您的情况下，函数 log2 n + log n 将是 O(log2 n)。}

但是，假设 k 是一个常数，任何具有 log (n^k) 形式的运行时的函数都有运行时 O(log n)。这是因为 log (n^k) = k log n 使用对数恒等式，而 k log n 是 O(log n)，因为 k 是一个常数。但是，您应该注意不要盲目地得出 O(log (n^k)) 的算法是 O(log n) 的结论；如果 k 是函数的参数或取决于 n，则在这种情况下，正确的 big-O 计算将是 O(k log n)。

根据您工作的环境，您有时会看到符号 Õ(f(n)) 表示 O(f(n) log^k n) 表示某个常数 k。这有时称为“soft-O”，用于对数项不相关的上下文中。在这种情况下，您可以说这两个函数都是 Õ(1)，尽管这种用法在简单的算法分析中并不常见（事实上，在 Wikipedia 之外，我已经看到它恰好使用过一次）。

希望这会有所帮助！

【讨论】：

关于符号的一个注意事项：在编写 log^k n 时应该小心，因为许多随机算法与 log(log(n)) 或 log(log(log(n))) 等术语具有复杂性，并且在某些圈子中（例如在运筹学中），作者使用 log^k(n) 来指代对数的重复应用。

@Foo Bah- 这是一个很好的观点。符号 log^* 这样也很奇怪。

【参考方案3】：

log(n) 是 O((log(n))^2) 所以整个表达式是 O((log(n))^2)

【讨论】：

你认为log(n)是O((log(n))^2)吗？

【参考方案4】：

(log n)^k 是：

O((log n)^k) O(n^k) O(n) O(n log n) O(n^1/2) O(n^0.00000002)

等等。哪一个对您有意义取决于常量和上下文。

【讨论】：

是的，但只有Θ((log n)^k)

@ypercube：OP 没有要求 big-theta。

是的，从技术上讲，您的答案是正确的。我想这就是为什么你有 +1

@ypercube：也是Θ((log n)^k + 1)