嵌套循环的大O时间复杂度

Posted 2021-04-02

有人可以告诉我以下嵌套循环的时间复杂度：

 for(i=1;i<n;i+=i)
 {
    for(j=1;j<n;j*=j)
       //O(1)
 }

根据我，它将是O（log（n）* log（log（n））因为外部循环将运行log（n）次，因为我们有效地将i乘以2每次迭代。并且在内部循环中我们正在平方在每次迭代中循环计数器j。所以最终的复杂性是这两者的乘积。这是正确还是有其他答案。提前谢谢：D

答案

是的，复杂性是O(log2(n) * log2(log2(n)))。

内环的指数j遵循递归关系j(k) = j(k-1)^2，即j(k) = j(0)^(2^k)（通过归纳证明）。假设j(0) = 2（不是1，因为否则你会无限循环）。

因此，内循环的迭代次数k验证

    j(k) >= n
<=> 2^(2^k) >= n
 => k >= log2(log2(n))

外循环的迭代次数是> = log2(n)。