简单研究Unity中的万向锁和欧拉角以及四元数

Posted 2023-02-14 liu_if_else

欧拉角是欧拉在17世纪发明引进的一个数学工具，在三维欧几里得空间内，欧拉角可以确定一个物体的朝向。在解决静态问题上，欧拉角是一个比较完美的解决方案，但在动态问题上，欧拉角有一个万向锁的瑕疵，数学界在后来发明了四元数也叫欧拉参数已经解决了这一问题。Unity也已经很好的规避解决了万向锁的问题，但是在手动旋转物体时还是有可能会遇上这一现象。

在Unity Editor内点击场景中的任意有transform的gameobject，在Inspector面板内可以查看它的transform的position，rotation和scale。

(图1：一个plane物体的Position，Rotation，Scale)

这里的Rotation格式是欧拉角，在原点(0,0,0)，手动调整transform的欧拉角xyz值有点像围绕着它的xyz轴旋转。

(图2：修改plane物体的Rotation.x)

其实调整一个物体在inspector内的欧拉角的xyz值并不代表它围绕着某个轴旋转多少度。这个值描述的是该物体当前在静态状态下的欧拉角度。由于“一个物体分别围绕xyz轴转动了多少度”要比“一个物体的当前欧拉角是多少度”更直观好理解，所以我们倾向于按前者来思考。

比如我说一个物体在原点(0,0,0)绕x轴转90度，基本所有人都能想到旋转后的状态是(90,0,0)，但如果我说一个物体的欧拉角是(90,-90,-90)，很多人都想不到它与前者是同样的角度状态。

但如果用前者，“一个物体分别围绕xyz轴转动多少度”这种动态的思路来理解使用欧拉角，就会出现一个问题：在某些情况下无法通过单一一个角度值的线性变化去表现一个物体不断的旋转。例如当plane物体的欧拉角x=90时，调整y或z的值，plane的旋转表现都是围绕着y轴，也既是我们无法通过调整它的欧拉角属性来让它围绕z轴旋转了。

(图3：当plane的欧拉角x=90时，修改y和z的值，它都是在围绕y轴旋转)

这一特殊情况通常被称为万向锁，Gimbal Lock。我觉得万向锁这词儿有点儿夸张，在这里更通俗直观的说法应该是“以线性的方式修改欧拉角的xyz其中之一的值无法随时随地很好的很方便的旋转一个物体”。

首先我们需要先了解虽然inspector面板上的欧拉角前面显示的是rotation，但在Unity中并不存在欧拉角格式的rotation。在Unity中，一个transform的rotation是Quaterion四元数格式，虽然这个类class也有一个欧拉角变量属性，但当你修改这个欧拉角变量的时候，Unity会自动将它转化为四元数再赋值给四元数的xyzw，而当你读这个值的时候，Unity会再次将四元数rotation转为欧拉角。

Unity无法完全抛弃欧拉角的原因之一是四元数Quaterion的xyzw的值代表的意思非常不直观，例如Quaterion.x的意义为下：
//注：Roll:围绕X轴旋转。Pitch:围绕Y轴旋转。Yaw：围绕Z轴旋转。
double cy = cos(yaw * 0.5);
double sy = sin(yaw * 0.5);
double cp = cos(pitch * 0.5);
double sp = sin(pitch * 0.5);
double cr = cos(roll * 0.5);
double sr = sin(roll * 0.5);
Quaterion.x = cr * cp * cy + sr * sp * sy;

因为它不够直观，可读性较差，所以Editor Inspector显示的是Quaterion类的eulerAngles属性，它主要是让你看的。当你修改它的值时，虽然感觉像是用一个拉杆一样旋转一个物体，而实际上背后是在进行"欧拉角=>四元数"连续自动转换。

正确的手动旋转物体的操作方式是在场景中转动物体。例如，我们在场景中选择处在万向锁的角度(90,0,0)的plane，通过球体手动旋转它，可以看到欧拉角的一个非线性变化。

(图4：当plane的欧拉角x=90时，增加x，它的y和z会变为90)

这样我们把"欧拉角=>四元数"变为了"四元数=>欧拉角"，场景中旋转物体，发生线性变化的是它的四元数的值，规避了欧拉角动态旋转出现万向锁的问题，然后Unity会将四元数转化为欧拉角并显示在inspector内。

这也说明万向锁其实并没有锁死任何角度，只是在这一动态问题中的某些角度，欧拉角会丧失人类可读的直观性。因此，直接正确的修改欧拉角也不是不可以解决万向锁，例如上面案例中，我们只需在物体转到(90,0,0)时手动将inspector内rotation的y和z修改为90，或在代码中写一些有关阈值的if else即可继续任意旋转。但一个平滑万能的旋转，并可通过编程简单实现，对于与动画和编程高度结合的3D软件来讲至关重要，Unity在底层必然要用四元数代替欧拉角。

由上所述四元数的非直观性质，在代码中，官网也不建议在脚本中直接分别修改四元数的xyzw，最好是对它们进行整体修改。

(图5：Quaterion的官网资料)

这里还要说一下欧拉角到四元数的转换函数。Quaterion.Eular()函数将一个欧拉角作为参数返回一个四元数，例如trans.rotation = Quaterion.Eular(new Vector3(0,30,0))。该行代码可以很直观的理解为“trans在原点围绕y轴旋转30度”(1)。使用这个函数直接修改transform有点像直接修改Editor Inspector内的Rotation，效果与直接修改Quaterion类的eulerAngles属性相同。

Quaterion.Eular()的C++实现代码应该就是如下(2)：

struct Quaternion

    double w, x, y, z;
;
//Roll:围绕X轴旋转。Pitch:围绕Y轴旋转。Yaw：围绕Z轴旋转。
Quaternion ToQuaternion(double yaw, double pitch, double roll) // yaw (Z), pitch (Y), roll (X)

    // Abbreviations for the various angular functions
    double cy = cos(yaw * 0.5);
    double sy = sin(yaw * 0.5);
    double cp = cos(pitch * 0.5);
    double sp = sin(pitch * 0.5);
    double cr = cos(roll * 0.5);
    double sr = sin(roll * 0.5);

    Quaternion q;
    q.w = cr * cp * cy + sr * sp * sy;
    q.x = sr * cp * cy - cr * sp * sy;
    q.y = cr * sp * cy + sr * cp * sy;
    q.z = cr * cp * sy - sr * sp * cy;

    return q;

如果需要动态旋转一个物体，还有Rotate()，RotateAround()等函数，我们都可以使用欧拉角作为参数。

如上，Unity使用四元数维护一个transform的角度状态，规避了物体动态旋转的万向锁问题。以四元数为基础，上层保留了欧拉角的一定角色，方便用户使用和理解。唯一容易发生迷惑的地方就是在Editor inspector面板显示的transform的rotation属性。如果用户直接对它进行拉杆式操作连续旋转一个物体就有可能会观察到一个万向锁的case，但inspector的rotation更适用于用户观察物体状态或者静态赋值，正确的手动旋转物体应该在场景scene中进行，直接修改四元数。

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参考：
(1):https://docs.unity3d.com/ScriptReference/Quaternion.Euler.html
(2):https://en.wikipedia.org/wiki/Conversion_between_quaternions_and_Euler_angles