Unity编程四元数(Quaternion)与欧拉角
Posted AndrewFan
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了Unity编程四元数(Quaternion)与欧拉角相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
欧拉旋转、四元数、矩阵旋转之间的差异
除了欧拉旋转以外，还有两种表示旋转的方式：矩阵旋转和四元数旋转。接下来我们比较它们的优缺点。
欧拉角
- 优点：三个角度组成，直观，容易理解。
- 优点：可以进行从一个方向到另一个方向旋转大于180度的角度。
- 弱点：死锁问题。 前面《【Unity编程】欧拉角与万向节死锁（图文版）》已经介绍过万向节死锁问题。
四元数
内部由四个数字（在Unity中称为x，y，z和w）组成，然而这些数字不表示角度或轴，并且通常不需要直接访问它们。除非你特别有兴趣深入了解四元数学，你只需要知道四元数表示三维空间中的旋转，你通常不需要知道或修改x，y和z属性。
- 优点：四元旋转不存在万向节锁问题。
- 优点：存储空间小，计算效率高。
- 弱点：单个四元数不能表示在任何方向上超过180度的旋转。
- 弱点：四元数的数字表示不直观。
矩阵旋转
- 优点：与四元数一样，不存在万向节锁问题
- 优点：可以表示围绕任意轴的旋转，四元数的旋转轴均为通过物体中心点的轴，矩阵则不受限
- 缺点：矩阵旋转使用4x4矩阵，记录16个数值，而四元数只需要4个数值。计算复杂，效率低。
由于Unity中的旋转使用四元数，因此本文重点就放在四元数数学上。矩阵还是某些场合需要用到，比如坐标变换。不过你几乎不需要手动去执行矩阵计算，除非你在做Shader编程，或者是某些需要极端提高效率的场合。后续我计划写一篇文章专门介绍矩阵变换。
四元数的数学
由于前面两篇文章均尽可能采用无数字计算的方式，为的是方便理解。而这里由于需要理解四元数的计算，我们还是需要理解一些复数和欧拉旋转计算方面的基本数学。
复数
首先了解一下复数，上图中，左右方向的轴（X轴）称为实数轴，上下的轴(Y轴)称为虚数轴。
任意一个二维矢量，都可以使用一个复数形式进行表示。也就是：e = a + bi
其中a是实数，i是虚数，i * i=-1。
至于什么是虚数，我的理解它就是个不同维度的后缀标记和符号而已。i标记了实数轴和虚数轴之间的差异，也就是旋转90度旋转的差别，乘以i意味着这种旋转关系。
为什么i * i=-1?也就是两个虚数i乘积又变成了实数-1？因为从实数轴(1表示)围绕上图中逆时针90度(1*i)到达虚数轴(=i)，再逆时针旋转90(1 * i * i)就到达了负实数轴方向(=-1)。所以这里规定i * i=-1。
复数运算
- 加法： (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
- 减法： (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
- 乘法： (a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i
更多复数相关知识，请参考“维基百科-复数_(数学)”
欧拉旋转定理
为了方便讨论旋转，我们避开矢量长度的影响，也就是假设问题是基于长度为1的矢量去讨论。由上图可以看出，当长度为1时，矢量落在长度为1的圆形上，此时实数轴上的a = cos（φ），虚数轴上的b = sin（φ），其中φ为旋转角度。
此时的表示形式为 e = cos（φ） + sin（φ）i
那么，使用这样一种形式到底有什么意义呢？数学从来都是工具，如果没有用处，它也就不会存在了。我们接下来看它的作用。
当圆上的一个矢量进行了连续的旋转时时，假设先旋转φ，再旋转θ，则结果应该是两个旋转的角的和的复数形式，即 e = cos（φ+θ）+sin（φ+θ）i
假设：
e1= cos（φ） + sin（φ）i (表示旋转了φ角度)
e2= cos（θ） + sin（θ）i (表示旋转了θ角度)
那么e和e1、e2之间的关系是怎样的？
根据和差公式可以得知
cos（φ+θ）+sin（φ+θ）i
= （cos（φ）cos（θ）-sin（φ）sin（θ））+(sin（θ）cos（φ）+cos（θ）sin（φ）)i
= cos（φ）cos（θ）+cos（φ）sin（θ）i+cos（θ）sin（φ）i- sin（φ）sin（θ）
= (cos（φ） + sin（φ）i)*(cos（θ） + sin（θ）i)
= e1 * e2
=>
e = e1*e2
也就是说，连续的旋转（例如这里旋转φ再旋转θ），可以使用两个复数的乘积进行表示。在计算机运算中：
- 如果知道φ=30度，那么计算此单位矢量再旋转θ=40度是很容易的，只需要直接运算cos（φ+θ）和sin（φ+θ）即可。
- 如果知道一个矢量(a+bi)，不知其φ值，要对其进行旋转θ=40度，那么也就有了快速的计算方法，即：
(a+bi) * (cos(40)+sin(40)i) = (a * cos(40)-b * sin(40)) + (b * cos(40) + a * sin(40))i
结果：二维向量 x = a * cos(40)-b * sin(40)，y= b * cos(40) + a * sin(40)
可以快速计算出二维矢量结果，而不必先求φ。
因此这就是复数和欧拉旋转定理的作用，它可以使用复数很方便地表示出二维矢量的旋转变化。
四元数
相对于复数为二维空间，为了解决三维空间的旋转变化问题，爱尔兰数学家威廉·卢云·哈密顿把复数进行了推广，也就是四元数。
以下均为定义，所谓定义，就是我们人为设置的概念和计算方法，它们本身或许没有什么意义，但是如果按照这些概念和方法计算出某些有意义的结果，那么这些定义也就有了相应的意义。
四元数定义
四元数定义i、j、k三个虚数单位参与运算，并有以下运算规则：
以上是关于Unity编程四元数(Quaternion)与欧拉角的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章