UnityUnity 欧拉角四元数万向节死锁四元数转轴角

Posted 2023-03-29 是嘟嘟啊

文章目录

• 欧拉角（Euler）
• • 万向节
  • 欧拉角旋转特性
  • 欧拉角优点
  • 欧拉角缺点
  • • 方位的表达方式不唯一
    • 万向节锁（Gimbal Lock）
• 四元数（Quaternion）
• • 四元数转轴角
  • 四元数优点
  • 四元数缺点
  • Quaternion类

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欧拉角（Euler）

什么是欧拉角？百科上是这样解释的：用来确定定点转动刚体位置的3个一组独立角参量，由章动角θ、旋进角（即进动角）ψ和自转角φ组成，为欧拉首先提出而得名。

很难理解吧？其实我们没有必要把欧拉角想得太复杂。

对于开发者来说，欧拉角就是用一个Vector3变量来记录物体沿着x、y、z轴的旋转。注意，虽然这是一个Vector3变量，但它并不是向量，这个变量的x、y、z三个分量是用来描述旋转的。

欧拉角特点：

• 使用3个角度来保存方位。
• x 与 z沿自身坐标旋转，y 沿世界坐标旋转。
• API：Vector3 eulerAngle = this.transform.eulerAngles;

万向节

万向节，也叫平衡环架（Gimbal），具有枢纽的装置，使得一物体能以单一轴旋转。由彼此垂直的枢纽轴所组成的一组三只平衡环架，则可使架在最内的环架的物体维持旋转轴不变。常常应用于船上的陀螺仪、罗盘、饮料杯架等。

在飞行器的航行中，进行XYZ三个方向旋转的旋转有专业的术语，见下图：

沿着机身右方轴（Unity中的+X）进行旋转，称为pitch，中文叫俯仰。
沿着机头上方轴（Unity中的+Y）进行旋转，称为Yaw，中文叫偏航。
沿着机头前方轴（Unity中的+Z）进行旋转，称为Roll，中文叫桶滚。

欧拉角旋转特性

欧拉角的旋转就是沿着万向节的轴旋转的。目前人类最常用也最容易理解的方式是先沿着X轴旋转，再沿着Y轴旋转，最后沿着Z轴旋转，最后达到目标旋转角度。如下图所示：

这时候可能就有人会有疑问了，为什么不能三个轴同时旋转呢？
实际上，如果三个轴同时旋转，将会无法达到你预期的旋转效果。为什么呢？因为物体是一个整体，当某一个轴进行旋转时，其他的轴是跟着物体一起动的，如果还是按照原来的旋转角度旋转则会随着其他轴的转动形成偏移，如下图所示：

我们想要的其实只是让箭头指向我们，但三个轴同时旋转却使这个旋转轨迹划出了一个不应该有的弧线。

所以我们要了解的是，欧拉旋转是一定要有顺序的。这样的问题其实是无法避免的，但是我们可以根据物体的旋转情况对此进行优化，这个优化的方法就是给三个轴指定一个新的层级顺序。

当然这并不是真正的解决了问题，只是尽量避免了问题而已。欧拉角的问题是无法彻底解决的，

欧拉角优点

• 仅使用三个数字表达方位，占用空间小。
• 沿坐标轴旋转的单位为角度，符合人类思考方式。
• 任意三个数字都是合法的，不存在不合法的欧拉角。

欧拉角缺点

方位的表达方式不唯一

对于一个方位，存在多个欧拉角描述，因此无法判断多个欧拉角代表的唯一是否相同。

例如：

• 角度 0, 5, 0 与角度 0, 365, 0
• 角度 0, -5, 0 与角度 0, 355, 0
• 角度 250, 0, 0 与角度 290, 180, 180

为了保证任意方位都只有独一无二的表示，Unity引擎限制了角度范围，即沿x轴旋转限制在 -90 ~ 90 之间，沿 y 与 z 轴旋转限制在 0 ~ 360 之间。

万向节锁（Gimbal Lock）

当物体沿 x 轴旋转 $\pm 90°$ ，自身坐标系z轴与世界坐标系y轴将重合，此时再沿y轴或z轴旋转时，将会失去一个自由度。

Unity的优化方案：在万向节死锁的情况下，规定沿z轴完成绕竖直轴的全部旋转，即此时y轴旋转为0。

关于万向节锁的讲解视频：https://v.youku.com/v_show/id_XNjk1MTkzMTM2.html#paction

在使用欧拉旋转的情况下，万向节锁的情况是无法避免的，为了更好的表示旋转，Unity引入了四元数的概念。

四元数（Quaternion）

四元数在3D图形学中代表旋转，由一个三维向量 $/[x,y,z]$ 和一个标量 $/w$ 组成。

旋转轴为 $V$ ，旋转弧度为 $\theta$ ，若使用四元数表示，则四个分量为：
$$\begin{gathered} x=Sin(\theta /2)\ast V.x \\ y=Sin(\theta /2)\ast V.y \\ z=Sin(\theta /2)\ast V.z \\ w=Cos(\theta /2) \end{gathered}$$
四个分量的值都在 -1 到 1 之间。

几何应用：四元数与向量相乘，可以实现向量的旋转。

代码：

// 获取四元数
Quaternion qt = this.transform.rotation;

// 使用四元数做旋转
this.transform.rotation = Quaternion.Euler(0, 50, 0);

// 或者调用Rotation方法实现旋转
this.transform.Rotation(0, 50, 0);

四元数旋转角度相加需要用 * 乘法，而不是加法。

四元数转轴角

Transform 中的 rotation 使用的是四元数，有时我们需要获取 Transform 沿某一个轴旋转的角度，此时可以用下面的代码进行计算：

Quaternion q = transform.rotation;

// 计算X轴旋转角度
float angleX = 0;
float siny_cosp1 = 2 * (q.w * q.x + q.z * q.y);
float cosy_cosp1 = 1 - 2 * (q.y * q.y + q.x * q.x);
float radian1 = Mathf.Atan2(siny_cosp1, cosy_cosp1); // 求出弧度
angleX = radian1 * Mathf.Rad2Deg; // 转化角度
Debug.Log("=============" + angleX);

// 计算Z轴旋转角度
float angleZ = 0;
float siny_cosp2 = 2 * (q.w * q.z + q.x * q.y);
float  cosy_cosp2 = 1 -2 * (q.y * q.y + q.z * q.z);
float radian2 = Mathf.Atan2(siny_cosp2, cosy_cosp2); // 求出弧度
angleZ = radian2 * Mathf.Rad2Deg; // 转化角度
Debug.Log("=============" + angleZ);

上述方法适用于物体只在一个轴上做了旋转的情况，Y轴的计算方法以此类推。

四元数优点

避免万向节死锁，完全沿自身轴（而不是全局轴）旋转。

四元数缺点

难于使用，且存在不合法的数值。

Quaternion类

Unity中提供了Quaternion类来处理四元数相关操作，该类的使用方法可以参考我的另外一篇文章：【Unity】Unity常用类：向量Vector3、四元数Quaternion

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本文万向节部分内容参考了塞北烟云大神的文章，地址如下：https://www.jianshu.com/p/9f45e91a2391

更多内容请查看总目录【Unity】Unity学习笔记目录整理

欧拉角四元数和矩阵的对比(转)

三维空间的旋转可以用欧拉角，旋转矩阵，轴-角，四元数，双四元数来表示，本文主要总结这些表示方法的优缺点。

一．  欧拉角（Euler-Angles）

1.1    介绍

欧拉角包括3个旋转，根据这3个旋转来指定一个刚体的朝向。这3个旋转分别绕x轴，y轴和z轴，分别称为Pitch，Yaw和Roll，如下图所示。欧拉角可以表示成z-x-z，x-y-x，z-y-z等形式，旋转的顺序影响结果。

Pitch

Yaw

Roll

图1. 欧拉角的表示

欧拉角很重要的一个优点就是直观，容易理解。

欧拉角主要有下面几个缺点：

（1）       欧拉角是不可传递的，旋转的顺序影响旋转的结果，不同的应用又可能使用不同的旋转顺序，旋转顺序无法统一；

（2）       3个旋转的角度可以不受限制，即可以是10000度，也可以是-1500度；

（3）       可能造成万向节死锁（Gimbal Lock）。

1.2 平万向节死锁

当两个环发生重叠的时候，就有丢失了一个自由度，如图2所示。对万向节死锁可以参考【1】【2】【3】，特别是【1】提供的视频，对知识点的介绍非常的形象生动。也正是由于锁的存在，无法使用欧拉角实现球面平滑的插值。

图2. 万向节死锁

二． 旋转矩阵

用3*3的矩阵，可以表示三维空间中所有的旋转，设θ表示沿着轴的方向望去时，方向是顺时针的旋转角度。则绕着X轴、Y轴、Z轴旋转θ角，对应的旋转矩阵表示如下所示：

 

X=⎛⎝⎜1 0 0 0cosθsinθ0−sinθcosθ⎞⎠⎟ Y=⎛⎝⎜cosθ0−sinθ010sinθ0cosθ⎞⎠⎟ Z=⎛⎝⎜cosθsinθ0−sinθcosθ0001⎞⎠⎟

 

旋转矩阵支持传递性，使用起来很简单方便，但是存在下面一些缺点：

（1）       浪费内存，至少需要12个参数，来表示一个6个自由度的结构；

（2）       可能就引入不该有的缩放（Scaling）和错切（Sheering）

（3）       矩阵插值的实现难度很大；

（4）       不直观。

三．  轴-角度

绕着单位长度的轴旋转某个角度，使用组合对(n⃗ ,θ)。

该方向很直观，避免了欧拉角使用时的万向节死锁；但是实现多个旋转的组合时，比较困难；不能简单的通过对4个元素的线性插值来实现轴-角度的插值，会引起错误。

四． 四元数

参考《四元数》，也可以参考【5】【6】【7】，这里只简单的描述下该方法的优缺点。

它的缺点就是很不直观，理解起来较费劲。但是存在很多优点：

（1）       更健壮，不会出现欧拉角中出现的万向节死锁。

（2）       更高效，花费更少的空间和时间；当使用有限的精度对矩阵进行大量的操作，就会发生漂移（Drift），实数的四舍五入就会不断累积到矩阵中。由于漂移的存在，旋转的操作就可能发生错误，所以要对矩阵进行归一化操作，重置矩阵，这是很费时的操作。四元数只有4个值，而矩阵有9个，它经历的漂移作用就小，而且归一化时间就更少。

（3）       使用起来很简单

 

参考

【1】       http://v.youku.com/v_show/id_XNzkyOTIyMTI=.html

【2】       http://www.cnblogs.com/soroman/archive/2008/03/24/1118996.html

【3】       http://www.cnitblog.com/luckydmz/archive/2010/09/07/68674.aspx

【4】       Kenwright, Ben. "A Beginners Guide to Dual-Quaternions."

【5】       http://www.cprogramming.com/tutorial/3d/quaternions.html

【6】       http://isg.cs.tcd.ie/projects/DualQuaternions/

【7】       http://www.gamedev.net/page/resources/_/technical/math-and-physics/quaternion-powers-r1095