二叉树旋转

Posted 2022-12-15 --Allen--

本文我们来学习二叉树的另一种操作——旋转。掌握了这个神技，你将会在平衡树的道路上所向披靡。

1. 什么是旋转

二叉树节点旋转一共有两种操作：左旋和右旋。

如图 1 所示，左边的二叉树通过左旋得到右边的二叉树；反之右旋同理。（a, b, c 表示子树，而不是单独表示一个节点）

图1 左旋和右旋

• 左旋：是以节点的"右分支"为轴，进行逆时针旋转。我们将左旋操作定义为 left_rotate.
• 右旋：是以节点的“左分支"为轴，进行顺时针旋转。我们将右旋操作定义为 right_rotate.

在图 1 中，左侧二叉树经过 left_rotate(x) 可以得到右侧，右侧执行 right_rotate(y) 可以得到左侧。

2. 为什么要旋转

在解释这个道理之前，我们先看看执行旋转后，二叉树中节点的深度有什么变化。在图 1 中，二叉树执行左旋后，a 分支所有节点的深度比以前多 1，b 分支保持不变，c 分支所有节点比以前少 1.

这就意味着，通过合适的左旋和右旋操作，我们可以调整二叉树的深度。另一方面，通过合适的左旋和右旋，我们可以把二叉树变换成任意的形状！

思考一下：你有没有办法通过左旋和右旋，把二叉树转换成一条只有一个分支的，向右延展的链？

图2 二叉树通过若干次左旋和右旋操作变换成链

答案:

left_rotate(4);
right_rotate(10);
right_rotate(8);
right_rotate(5);
right_rotate(4);
right_rotate(2);

当然，你可以尝试更多其它的例子，在你的草稿本上画一画。

3. 旋转算法

有了上面的铺垫后，旋转操作是不是变的特别容易？接下来，我们给出左旋和右旋的伪代码。

下面是我们定义的数据结构：

// 表示二叉树
let tree = 
	root: null
;

// 表示节点
let node = 
	left: null,   // 左孩子
	right: null,  // 右孩子
	parent: null, // 父节点
	key: 0
;

• 左旋

function left_rotate(x) 
	let y = detach(x.right); // 摘下 x 的右分支 y
	transplant(x, y);
	let b = detach(y.left); // 摘下 y 的左分支
	x.right = b; // 挂到 x 的右侧
	b.parent = x;

• 右旋

function left_rotate(y) 
	let x = detach(y.left);
	transplant(y, x);
	let b = detach(x.right);
	y.left = b;
	b.parent = y;

注意到上面有一步 transplant 操作，请参考上一篇文章：《二叉搜索树》。另一个 detach 操作，它的目的就是摘下节点，代码如下。

function deatch(z) 
	if (z.parent == null) return z;
	
	if (z.parent.left == z) 
		z.parent.left = null;
	 else 
		z.parent.right = null;
	
	z.parent = null;
	return z;

4. 总结

• 知道旋转的步骤
• 知道为什么有旋转
• 知道怎样通过旋转对二叉树进行变换