确定是不是存在包含线性时间给定边的 MST

Posted 2023-02-19

【中文标题】确定是不是存在包含线性时间给定边的 MST

【英文标题】：Decide Whether There Exists a MST That Contains a Given Edge in Linear Time确定是否存在包含线性时间给定边的 MST

【发布时间】：2013-02-16 21:50:10

【问题描述】：

令 G = (V, E) 是一个加权的、连通的和无向图，设 e 是 E 中的任何边。 显示一个线性时间算法，该算法决定是否存在包含边 e 的最小生成树。

我设法为问题 1 找到了一个奇怪的“解决方案”，它似乎有效，但我认为它不是线性的：

他们建议对每条边 (u,v) 使用 union find 并执行 Union(u,v)，使得 W(u,v)

另一方面，如果 find(x) = find(y) 那么如果我们运行 Kruskal 算法到这一点，x 和 y 肯定会连接，所以我们不能将边 e 添加到任何 MST（这是已知的通过操纵具有相同权重的边的排序顺序 - Kruskal 算法可用于创建任何 MST）。

我不明白为什么这是线性的？由于工会，它不应该花费 O( |E| alpha(|V|) ) 吗？

也许还有另一种方法可以在线性时间内做到这一点？

提前致谢

【问题讨论】：

Union Find 是一项线性时间作业 - 它以反阿克曼函数 log*N 为界。见here。

【参考方案1】：

如果我们将 Kruskal 算法带到“this”点，标记到目前为止构建的连接组件，并将所有丢弃的边添加回来，每个连接的组件仍将包含与以前相同的所有顶点（丢弃的边只添加循环，而不是连接不同的组件）。所以我们只需要检查 e 是否连接了由严格比 e 轻的边组成的两个不同的连通分量。查找连接的组件是一项线性时间工作。