不能用单精度浮点表示的最小整数

Posted 2023-02-16

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【中文标题】不能用单精度浮点表示的最小整数【英文标题】：Smallest integer not representable in single precision floating point 【发布时间】：2014-11-29 21:10:01 【问题描述】：

所以我知道单精度浮点不能表示的最大整数是 2^(23+1) + 1 = 16,777,217。

我们是如何计算出我们使用 2^(23+1) + 1 的。我知道有一个隐含的 1，而 23 是尾数中表示的位数，但为什么会这样？

【问题讨论】：

任何整数的二次幂（最多 2^127）都可以用浮点数精确表示。您必须使定义更加精确。我想找到不能用单浮点精度表示的最小整数（不一定是二的幂）。根据我的发现，它是 16,777,217，但我不完全理解我们是如何找到这个数字的。 @Wilson：您在第二段中回答了您的问题。对于你的解释，我没有什么要补充的。特别是，当您问“为什么这样有效？”时，我不知道您在寻找什么。 @nneonneo 由于设置 32 位（浮点数）只有 2^32 种不同的方法，因此您最多可以精确表示 2^32 个不同的值。 float 类型表现为十进制数，您只能使用 1-9 中的 7 个数字，但如果需要，您可以在前后填充 120+ 个零。 @DanielB。如果您仔细阅读我的评论，您会注意到我专门指的是两个整数的幂 - 2^0、2^1、2^2、2^3、...、2^127。所有这些都可以用单精度浮点数精确表示，尽管它们的相邻整数可能无法精确表示。 【参考方案1】：

我认为这里的技巧是理解浮点表示的基础：每个数字表示为 1.fraction * 2^exponent。这里的关键是要知道指数（8 位）和分数（23 位）都有限制，但这些限制不一定匹配。例如，我们可以用 8 位指数创建 2^24，而不能用分数创建 2^-24（因为它只有 23 位）。因此，如果你想让数字 16777216 = 2^24，你只需将分数设置为 0 并将指数设置为 24。但是，如果你想表示 16777217 = 2^24 + 1，你唯一能做的就是就是加一小部分，所以当它乘以 2^24 时，它会产生 1，而那个小部分应该是 2^-24，不幸的是，它不能仅由 23 位产生。

【讨论】：

【参考方案2】：

我想我明白了你的问题。看看这个，特别是这些变量的结构/设计是如何完成的。 http://en.m.wikipedia.org/wiki/Single_precision

Float 通常代表浮点变量。这意味着您有（通常是 3 个字节）存储您的号码。然后你还有一个（一个字节）指数，它表示在这个数字内设置点的位置。

现在您可以轻松计算可以存储在此值中的最大和最小数字。

但有一个棘手的部分。由于这不是固定点整数，因此它可能具有有限的精度，可能会导致奇怪的问题。随着数字变大，数字之间的绝对距离也越来越大。在某个时刻，您将达到一个数字，您可以在其中添加 1，并且它将保持相同的数字，因为一个超出了您可用的精度范围。正如您将在上面的 wiki 页面上看到的那样： 1 位用于标记负数，23 位用于精度，8 位用作指数。现在想象一下，例如，指数是 40，现在您将有一个 23 位的数字，该点位于位置 40。其余的都用 0 填充。加 1 不会改变数字，因为它在外面重要的范围，不会被存储。

也许您在问为什么指数中还有另一个 +1。在这里很好地解释了这一点：Which is the first integer that an IEEE 754 float is incapable of representing exactly? 这是因为 abcdefg 形式的尾数实际上代表 1.abcdefg。

【讨论】：

【参考方案3】：