浮点中整数的精确表示

Posted 2021-04-20

我试图理解浮点格式的整数表示。

由于IEEE浮点格式对于尾数只有23位，因此我希望任何大于1 << 22的整数只是近似表示。这不是我在g ++中观察到的

下面的两个法院都打印相同的值33554432。

由于尾数部分是负责精度的部分，我们如何能够表示（存储）准确存储需要超过23位的精确数字。

void floating_point_precision(){
  cout<< setprecision(10);
  float fp = (1<<25);
  cout<< fp <<endl;
  cout<< (1<<25) <<endl;
}

作为基于以下答案的后续，为什么以下代码不执行“不等于”，即使fp，i的打印都不同。

void floating_point_precision(){
  cout<< setprecision(10);
  float fp = ((1<<25)+1);
  cout<< fp <<endl;
  int i = ((1<<25)+1)  ;
  cout<< i <<endl;
  if(i != fp)
    cout<< "Not equal" <<endl;
}

答案

的确，IEEE浮点只有有限数量的尾数位。如果有23个尾数位，那么它可以精确地表示223个不同的整数值。

但由于浮点单独存储一个2的幂指数，它可以（受限于指数范围）代表那些223值乘以2的幂的任何一个。

33554432正好是225，所以它只需要一个尾数位来表示它（加上一个表示乘以2的幂的二进制指数）。它的二进制表示是10000000000000000000000000，它有26位但只有1位有效位。 （嗯，实际上它们都很重要，但你明白了。）

您会发现它的相邻整数值33554431和33554433无法在32位float中精确表示。 （但它们可以用64位double表示。）

更一般地，float类型的连续可表示值之间的差异随着值的大小而变化。在我的系统上（大多数系统使用IEEE格式，但标准不要求），这个程序：

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cmath>

void show(float f) {
    std::cout << std::nextafterf(f, 0.0) << "
"
              << f << "
"
              << std::nextafterf(f, f*2) << "
";
    putchar('
');
}

int main(void) {
    std::cout << std::setprecision(24);

    show(1);
    show(1<<23);
    show(1<<24);
    show(1<<30);
}

产生这个输出：

0.999999940395355224609375
1
1.00000011920928955078125

8388607.5
8388608
8388609

16777215
16777216
16777218

1073741760
1073741824
1073741952

它显示了float类型中的前一个和后继者，数字1,223,224和230.正如您所看到的，对于较大的数字，间隙变大，每个幂为2时间隙的大小加倍。

您会得到类似的结果，但间隙较小，类型为double或long double。