为贝塞尔曲线中的每个点绘制切线

Posted 2023-02-22

【中文标题】为贝塞尔曲线中的每个点绘制切线

【英文标题】：Drawing tangent lines for each point in bezier curve

【发布时间】：2013-10-26 09:46:02

【问题描述】：

我设法绘制了一条贝塞尔曲线，例如：

glColor3f(0,1,0);
glBegin(GL_LINE_STRIP);
for (int i = 3; i < nPt; i+=3) 
    glColor3f(0,0,0);
    for (float k = 0; k < NLINESEGMENT+1; k++) 
        float x = pow(1.0-k/NLINESEGMENT,3)*ptList[i-3].x +
            3*(k/NLINESEGMENT)*pow(1.0-k/NLINESEGMENT, 2) * ptList[i-2].x +
            3*(1.0-k/NLINESEGMENT)*pow(k/NLINESEGMENT, 2) * ptList[i-1].x +
            pow(k/NLINESEGMENT, 3)*ptList[i].x;
        float y = pow(1.0-k/NLINESEGMENT,3)*ptList[i-3].y +
            3*(k/NLINESEGMENT)*pow(1.0-k/NLINESEGMENT, 2) * ptList[i-2].y +
            3*(1.0-k/NLINESEGMENT)*pow(k/NLINESEGMENT, 2) * ptList[i-1].y +
            pow(k/NLINESEGMENT, 3)*ptList[i].y;
        glVertex2d(x,y);
    

glEnd();

现在我想为每个点添加切线箭头，我该怎么做？我得到了一个绘制箭头的函数。所以我相信我只需要旋转参考框架并画出那个箭头。但是我如何计算旋转？我想我需要微分方程，但问题仍然存在，我该如何使用它？

更新

每放置第 4 个点，就会绘制一条曲线。

我应该达到以下目标

Full Source

更新 2

好的，我尝试绘制切线，例如：

glColor3f(0,1,0);
for (int i = 3; i < nPt; i+=3) 
    for (int n = 0; n < NOBJECTONCURVE; n++) 
        float t = (float)n/NOBJECTONCURVE;
        float x0 = points[i-3].x,
                x1 = points[i-2].x,
                x2 = points[i-1].x, 
                x3 = points[i].x;
        float y0 = points[i-3].y,
                y1 = points[i-2].y,
                y2 = points[i-1].y, 
                y3 = points[i].y;

        float x = pow(1.0-t, 3) * points[i-3].x +
            3 * t * pow(1.0 - t, 2) * points[i-2].x +
            3 * (1.0 - t) * pow(t, 2) * points[i-1].x +
            pow(t, 3)*points[i].x;
        float y = pow(1.0-t, 3) * points[i-3].y +
            3 * t * pow(1.0 - t, 2) * points[i-2].y +
            3 * (1.0 - t) * pow(t, 2) * points[i-1].y +
            pow(t, 3)*points[i].y;

        float dx = -3*(1-t)*x0 + 3*x1*((2*t)*(t-1)+pow((1-t),2)) + 3*x2*(2*t*(1-t)-pow(t,2)) + 3*pow(t,2)*x3;
        float dy = -3*(1-t)*y0 + 3*y1*((2*t)*(t-1)+pow((1-t),2)) + 3*y2*(2*t*(1-t)-pow(t,2)) + 3*pow(t,2)*y3;
        float angle = atan(dy/dx);

        glPushMatrix();
        glTranslatef(x, y, 0);
        glRotatef(angle * 180 / 3.14159265, 0, 0, 1);
        drawRightArrow();
        glPopMatrix();
    

但正如您所见，切线似乎不正确，尤其是在贝塞尔曲线的中间？

【问题讨论】：

IMO在这类问题中截图你做了什么，可以让问题变得更好。

@JiewMeng In x0, y0 切线角为ang=arctan(dy/dx)。箭头的坐标（箭头长度l）然后：(x0,y0) - (l * cos(ang), l * sin(ang))。

@PetrBudnik：如果你之后再次将角度转换为矢量，为什么还要计算角度？

@NicoSchertler 因为角度与dx 和dy 无关，它们通常因点而异。

【参考方案1】：

因为我们不想打断线带，所以再做一个绘制箭头的循环是合理的。在这个循环中，我们可以跳过一些步骤，因为我们可能不希望每一步后面都有箭头。箭头可以绘制为“GL_LINES”原语。

为了便于阅读，我建议将内部循环中的参数t 定义为

float t = (float)k/NLINESEGMENT;

现在我们需要计算此时曲线相对于t 的导数。可以为每个坐标独立计算该导数。看起来这个问题是一个家庭作业，所以我把它留给你

float dx = ... //derivative of x-component with respect to t
float dy = ... //derivative of y-component with respect to t

我们还需要曲线点。理想情况下，您已将其保存在上一个循环中的数组或类似结构中。

所以我们可以画出箭头的基线（s 是自定义比例因子）：

glVertex2d(x, y);
glVertex2d(x + s * dx, y + s * dy);

我们还需要实际的箭头。与箭头方向正交的向量是(-dy, dx)。所以我们可以把方向和正交方向结合起来得到箭头：

glVertex2d(x + s * dx, y + s * dy);
glVertex2d(x + 0.9 * s * dx - 0.1 * dy, y + 0.9 * s * dy + 0.1 * dx);
glVertex2d(x + s * dx, y + s * dy);
glVertex2d(x + 0.9 * s * dx + 0.1 * dy, y + 0.9 * s * dy - 0.1 * dx);

这将产生一个 90° 箭头。您可以通过调整系数（0.9 和 0.1）来改变角度。

更新

您的导数更接近实际解决方案，但仍包含一些错误：

此外，在计算角度时，使用atan2 函数。这允许您获得大于PI/2 的角度：

float angle = atan2(dy,dx);

【讨论】：

dx 和 dy，通常因点而异。在这种情况下，您的箭头将有不同的长度。除非你在 sqrt(dx * dx + dy * dy) 上标准化。

我打算让箭头的长度与导数的长度成正比。但这当然取决于任务。

这不会使它们与“导数长度”成比例。导数是dy/dx（实际上是lim dy/dx with dx->0）。对于dx = 1, dy = 0.5 和dx = 10000, dy = 5000，它的值相同，等于0.5。但是在这种情况下，您的箭头长度会相差 10000 倍。这就是为什么您必须以一种或另一种方式使用角度（如果您愿意，可以使用dy/dx = tan(ang)）。

我说的是x 和y 相对于t（dx/dt 和dy/dt）的衍生物。 y 相对于x 的导数有点难以计算，并且可能包含不连续性（对于垂直线部分）。因此，使用它来显示切向量并不是一个好主意。此外，y 通常不能描述为x 的函数。对于给定的x，可能有超过 1 个y-value。

恕我直言，您不需要t。您有一个代表函数的 离散 2D 点数组。您需要以数字方式在每个点中找到导数dy/dx 以获得切线。同样，该函数在分析上不可微分-它是一组离散点...对于dx = 0，我们有无限导数，所以我们只画一条垂直线...此外，一个函数有多个@987654356 @ 对于给定的 x 不会使其不可微分。想想圆的方程。 除了，具有讽刺意味的是，对于具有单个 y 值的两个点，衍生产品无处不在。