贝塞尔曲线原理

Posted 2022-12-05 牵只蜗牛去散步!

原理和简单推导（以三阶为例）：

设P0、P02、P2是一条抛物线上顺序三个不同的点。过P0和P2点的两切线交于P1点，在P02点的切线交P0P1和P2P1于P01和P11，则如下比例成立：

这是所谓抛物线的三切线定理。

当P0，P2固定，引入参数t，令上述比值为t:(1-t)，即有：

t从0变到1，第一、二式就分别表示控制二边形的第一、二条边，它们是两条一次Bezier曲线。将一、二式代入第三式得：

当t从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次Bezier曲线。

并且表明：

这二次Bezier曲线P02可以定义为分别由前两个顶点(P0,P1)和后两个顶点(P1,P2)决定的一次Bezier曲线的线性组合。

依次类推，

由四个控制点定义的三次Bezier曲线P03可被定义为分别由(P0,P1,P2)和(P1,P2,P3)确定的二条二次Bezier曲线的线性组合，由(n+1)个控制点Pi(i=0,1,…,n)定义的n次Bezier曲线P0n可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次Bezier曲线P0n-1与P1n-1的线性组合：

 

由此得到Bezier曲线的递推计算公式

这就是这就是de Casteljau算法，可以简单阐述三阶贝塞尔曲线原理。

下面是总结：

Bézier curve(贝塞尔曲线)是应用于二维图形应用程序的数学曲线。 曲线定义：起始点、终止点（也称锚点）、控制点。通过调整控制点，贝塞尔曲线的形状会发生变化。 1962年，法国数学家Pierre Bézier第一个研究了这种矢量绘制曲线的方法，并给出了详细的计算公式，因此按照这样的公式绘制出来的曲线就用他的姓氏来命名，称为贝塞尔曲线。

以下公式中：B(t)为t时间下 点的坐标；

P0为起点,Pn为终点,Pi为控制点

一阶贝塞尔曲线(线段)：

 

意义：由 P0 至 P1 的连续点， 描述的一条线段

二阶贝塞尔曲线(抛物线)：

 

原理：由 P0 至 P1 的连续点 Q0，描述一条线段。
\\a
由 P1 至 P2 的连续点 Q1，描述一条线段。
\\a
由 Q0 至 Q1 的连续点 B(t)，描述一条二次贝塞尔曲线。

经验：P1-P0为曲线在P0处的切线。

三阶贝塞尔曲线：

通用公式：

高阶贝塞尔曲线：

4阶曲线：

 

5阶曲线：