给定一组 n 个点 (x,y)，是不是有可能在 O(n logn) 时间内找到它们之间具有负斜率的点对的数量？

Posted 2023-03-27

【中文标题】给定一组 n 个点 (x,y)，是不是有可能在 O(n logn) 时间内找到它们之间具有负斜率的点对的数量？

【英文标题】：Given a set of n points (x,y), is it possible to find the number of pairs of points with negative slopes between them in O(n logn) time?给定一组 n 个点 (x,y)，是否有可能在 O(n logn) 时间内找到它们之间具有负斜率的点对的数量？

【发布时间】：2013-05-02 06:35:02

【问题描述】：

给定(x,y)形式的二维平面上的一组n个点，目标是找到所有点(xi,yi)和(xj, yj)的对数，使得连接这两个点的线具有负斜率。

假设没有两个xi 具有相同的值。假设所有点都在[-100,100] 或其他范围内。

【问题讨论】：

如何在 O(n logn) 时间内找到所有 O(n^2) 对点？

能找到计数吗？

正如你所说的 O(n logn) 是你正在寻找的东西，我想确保一件事它们以某种方式排序？？

@ashudeep21：顺便说一句，分而治之是非常好的调用 asatag：这是我建议的合并排序。然而，问题不在于几何......

@Boris：是的......我现在也有同感。然而，我陷入了一个更大问题的这一部分，这似乎是几何密集型的。

【参考方案1】：

您所询问的内容相当于在您对x 进行排序时将获得的ys 数组中的非反转数。你可以负担得起这种排序 - 它是O(n log n)。

我提醒你，反转是i > j 和a[i] a[j]。我所说的等价性很容易证明。

假设您有 6 个点 (4, 4), (2, 1), (6, 6), (3, 3), (5, 2), (1, 5)。根据x 对它们进行排序后，您将获得：(1, 5), (2, 1), (3, 3), (4, 4), (5, 2), (6, 6)。可以看到负斜率是由 , , , 等。所有ys 没有反转的对。

使用合并排序算法的增强，可以在O(n log n) 中计算反转的数量：基本上，每次选择添加正确子数组（包含较大索引的那个）的值时，您只需要增加反转的计数器。您可以根据左侧子数组中仍未处理的值的数量来增加反转次数。

这是计算反转次数的示例。

Initial array 5 1 3 4 2 6  inv := 0 // Total inversions: 6
merge step 1: <5 1 3> <4 2 6> inv = 0
merge step 2: <5> <1 3> | <4> <2 6> inv = 0
merge step 3: <5> [<1> <3>] | <4> [<2> <6>] inv = 0
merge step 4: <5> <1 3> | <4> <2 6> inv = 0 // both pairs were already sorted
merge step 5: <1 3 5> | <2 4 6> inv = 3 // we add one for 1, 3 and 2
merge step 6  <1 2 3 4 5 6> inv = 6 // we add 2 (3 and 5) for 2 and 1 for 4 

在找到反转数之后，对总数中的非反转数(n * (n - 1)) / 2 减去反转数inv。

在示例中是：6 * 5 / 2 - 6 = 9。