91. 最短Hamilton路径

Posted 2020-11-30 zcxy

给定一张 n个点的带权无向图，点从 0~n-1 标号，求起点 0 到终点 n-1 的最短Hamilton路径。 Hamilton路径的定义是从 0 到 n-1 不重不漏地经过每个点恰好一次。

输入格式

第一行输入整数n

接下来n行每行n个整数，其中第i行第j个整数表示点i到j的距离（记为a[i,j]）。

对于任意的x,y,z，数据保证 a[x,x]=0，a[x,y]=a[y,x] 并且 a[x,y]+a[y,z]>=a[x,z]。
输出格式

输出一个整数，表示最短Hamilton路径的长度。

数据范围

1≤n≤20
0≤a[i,j]≤10⁷

状态压缩DP
状态表示：f[i][j] 表示状态为 i ，最后停在点 j 的最短Hamilton路径，i是一个n位二进制数
状态计算：若 k 是f[i][j] 的倒数第二个点，那么状态转移方程为 f[i][j] = max(f[i][j], f[i - (1 << j)][k] + w[k][j]), w[k][j] 表示从第k个点到第j个点的距离

Code:

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 20;

int n;
int a[N][N],f[1 << N][N];

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 0;i < n;i++)
        for(int j = 0;j < n;j++)
            cin >> a[i][j];
    
    memset(f, 0x3f, sizeof f);
    f[1][0] = 0;            //处于起点的初始状态
    
    for(int i = 0;i < 1 << n;i++)
        for(int j = 0;j < n;j++)
            if(i >> j & 1)      // 保证 j 这个点在经过的路径中
            for(int k = 0;k < n;k++)
                if((i - (1 << j)) >> k & 1)  // 保证k在路径中
                    f[i][j] = min(f[i][j], f[i - (1 << j)][k] + a[k][j]);
    
    cout << f[(1 << n) - 1][n-1] << endl;
    
    return 0;
}