在给定一组坐标的情况下计算曲线下的面积，而不知道函数

Posted 2023-02-14

【中文标题】在给定一组坐标的情况下计算曲线下的面积，而不知道函数

【英文标题】：Calculating the area under a curve given a set of coordinates, without knowing the function

【发布时间】：2012-10-30 11:49:04

【问题描述】：

我有一个包含 100 个数字的列表作为 Y 轴的高度和 X 轴的长度：1 到 100，恒定步长为 5。我需要计算它包含在 (x) 曲线中的面积,y) 点和 X 轴，使用矩形和 Scipy。我必须找到这条曲线的函数吗？或不？ ...我读过的几乎所有示例都是关于 Y 轴的特定方程。就我而言，没有方程式，只有列表中的数据。经典的解决方案是按步长 X 距离添加或 Y 点和倍数...使用 Scipy 有什么想法吗？

请问，任何人都可以推荐任何使用 Scipy 和 Numpy 专注于数值（有限基本）方法的书吗？ ...

【参考方案1】：

numpy 和 scipy 库包括复合梯形 (numpy.trapz) 和辛普森 (scipy.integrate.simps) 规则。

这是一个简单的例子。在trapz 和simps 中，参数dx=5 表示数据沿x 轴的间距为5 个单位。

from __future__ import print_function

import numpy as np
from scipy.integrate import simps
from numpy import trapz


# The y values.  A numpy array is used here,
# but a python list could also be used.
y = np.array([5, 20, 4, 18, 19, 18, 7, 4])

# Compute the area using the composite trapezoidal rule.
area = trapz(y, dx=5)
print("area =", area)

# Compute the area using the composite Simpson's rule.
area = simps(y, dx=5)
print("area =", area)

输出：

area = 452.5
area = 460.0

【讨论】：

太棒了！ ...这两个答案都帮助我理解和解决我遇到的任何问题。我想问一些相关的事情......你建议使用数组而不是列表吗？对用户有帮助吗？还是算法的逻辑和速度？

trapz 和 simps 函数所做的第一件事是将 y 参数转换为 numpy 数组，所以这并不重要。您可能会查看生成 y 值的代码，看看这是否会受益于使用额外的 numpy 或 scipy 函数。如果是这样，当您将 y 传递给 simps 时，它已经是一个数组。

这两种方法哪一种更准确？

【参考方案2】：

您可以使用Simpsons rule 或Trapezium rule 在给定一个定期间隔的 y 值表的情况下计算图形下的面积。

计算辛普森法则的 Python 脚本：

def integrate(y_vals, h):
    i = 1
    total = y_vals[0] + y_vals[-1]
    for y in y_vals[1:-1]:
        if i % 2 == 0:
            total += 2 * y
        else:
            total += 4 * y
        i += 1
    return total * (h / 3.0)

h 是 y 值之间的偏移量（或间隙），y_vals 是井、y 值的数组。

示例（与上述函数在同一文件中）：

y_values = [13, 45.3, 12, 1, 476, 0]
interval = 1.2
area = integrate(y_values, interval)
print("The area is", area)

【讨论】：

我不确定.. 找到一条线的方程可能真的很棘手，尤其是如果你不知道它的曲线类型（指数、抛物线等）

谢谢...非常感谢您的帮助...只是 y_vals 是数组？还是我的 Y 数据列表 (H[i]) ？使用数组而不是列表更好吗？是否建议将我的列表更改为数组？关于 h，“h 是 y 值之间的 x 间隔”？ ..对此没什么帮助...在wiki示例上说：“”“f =函数，a =初始值，b =结束值，n =大小为h的间隔数，n必须是偶数“”” h = float(b - a) / n .. 是一样的吗？那么每一步之间的距离是多少？

是的，h 是每一步之间的间隔。 y_vals 可以是任何可以在 for 循环中迭代的东西。我总是使用数组，因为它们易于使用。

... 所以 y_vals 可以是算法前面部分定义的列表或数组？在我的情况下，列表被定义为 H.... 我是否必须为 def 集成插入一个 for 循环？

如果数据不等间距怎么办？

【参考方案3】：

如果您安装了 sklearn，一个简单的替代方法是使用 sklearn.metrics.auc

这使用给定任意 x 和 y 数组的梯形规则计算曲线下的面积

import numpy as np
from sklearn.metrics import auc

dx = 5
xx = np.arange(1,100,dx)
yy = np.arange(1,100,dx)

print('computed AUC using sklearn.metrics.auc: '.format(auc(xx,yy)))
print('computed AUC using np.trapz: '.format(np.trapz(yy, dx = dx)))

都输出相同的区域：4607.5

sklearn.metrics.auc 的优点是它可以接受任意间距的 'x' 数组，只要确保它是升序的，否则结果会不正确