适用于负循环的 Floyd-Warshall 算法 [关闭]

Posted 2023-02-19

【中文标题】适用于负循环的 Floyd-Warshall 算法 [关闭]

【英文标题】：Floyd-Warshall Algorithm that works with negative cycles [closed]

【发布时间】：2015-04-26 13:09:17

【问题描述】：

如何修改 Floyd-Warshall 算法以找到保持 O(V^3) 时间复杂度的有向图的任何负成本循环的最短路径？

【参考方案1】：

对于每条路径，在负循环图中没有最短路径 - 可以通过再遍历循环一次来找到更短的路径。

如果您指的是最短简单路径（每个顶点最多可以访问一次）- 除非P=NP，否则无法完成，而且很可能不是。

假设您有一个有效的最短简单路径算法A。 给定Longest Path Problem 的一个实例和一个图形G=(V,E,w)，创建一个新图形G'=(V,E,w')，其中w'(u,v) = -1*w(u,v)。现在在G' 上调用A，你得到了G' 上最短的简单路径——这是G 上最长的路径。

但是，由于最长路径是 NP-Hard - 除非 P=NP，否则这样的解决方案是不可能的。

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tl;博士：

在负循环图中，不存在最短路径。 您无法在 O(V^3) 时间的负循环图中找到最短的简单路径（除非 P=NP，即使这样也不一定是 O(V^3)）。

【讨论】：

这就是我的想法，没有最短路径是有道理的，因为循环的每次迭代都会导致“更小”的权重。但是，我在家庭作业和网上查找时遇到了这个问题。我的直觉告诉我答案是没有这样的修改可以使该算法适用于负循环。

“在具有负循环的图中，没有最短路径之类的东西”：是的，至少如果您的意思是“有限最短路径”。但是可以使用简单的广度优先搜索找到边数最少的负循环，而且“任何负成本循环的最短路径”很可能就是这个意思。

您能否详细说明如何使用 BFS 找到负循环的最小边数？