Floyd-Warshall 算法的最小权重循环

Posted 2023-02-19

【中文标题】Floyd-Warshall 算法的最小权重循环

【英文标题】：Minimum Weight Cycles with Floyd-Warshall Algorithm

【发布时间】：2014-05-09 10:43:31

【问题描述】：

“让 G 是一个没有负循环的有向加权图。设计一种算法来找到 G 中的最小权重循环，其运行时间复杂度为 O(|V|^3)。”

以上是我在课程作业中一直在研究的一个问题。当我第一次阅读它时，我立即认为 Floyd-Warshall 算法可以解决这个问题 - 主要是因为 F-W 在 O(|V|^3) 时间内运行，并且它适用于没有负循环的正负加权图。不过，我很快就想起了 F-W 旨在找到图的最短路径，而不是最小权重循环。

我在这个问题上是否正确？是否可以修改 Floyd-Warshall 算法以在图中找到最小权重循环？

【问题讨论】：

是的，你在正确的轨道上。包含顶点 v 的最小权重循环由从 _____ 开始的最小权重 _____ 组成，然后是 a[n] _____。填空：）

我不知道上面的空白应该是什么，但循环是从顶点到自身的（非平凡的）路径。您只需调整 FW 的初始设置即可获得所需的内容。

@G.Bach 我认为黑客的意思是，如果您首先解决了所有对最短路径，则可以在 O(n^3) 内构造最小循环。如果我们想找到一个没有重复节点的简单循环，那就更难了

@NiklasB。我认为将每个顶点一分为二就足够了，将它们与零权重边连接，并以通常为此操作完成的方式调整所有边。然后我们运行 Floyd-Warshall，寻找从 v_o 到 v_i 的最短路径，其中 v 覆盖所有顶点。由于我不记得 Floyd-Warshall 是否会为您提供不简单的路径，因此一旦我们有了路径，我们就可以轻松地在线性时间内去除其中的所有（零权重）循环。

@G.Bach：这将适用于像这样的有向图，前提是您在每种情况下都添加了从 v_i 到 v_o 的边。 （但请尽量不要对家庭作业问题给出完整的答案......）

【参考方案1】：

我认为你很接近。一旦你在 O(|V|^3) 中进行 FW 循环，你就有了每对顶点之间最短路径的权重，我们称之为 D(i, j)。现在我们的主要问题的解决方案如下：对将处于循环中的顶点进行暴力破解，比如说它是 X。还有对 Y 的暴力破解，这将是循环中的最后一个顶点，在 X 本身之前。这个循环的权重显然是 D(X, Y) + W(Y, X)。然后，您只需选择具有最小值的那个。这显然是一个正确的答案，因为： (1) D(X,Y)+D(Y,X) 的所有这些值代表某个（可能是非简单的）循环的权重； (2) 如果最优循环是某个a->...->b->a，那么我们在X=a, Y=b时考虑；

要重构答案，首先您需要跟踪哪个 X、Y 给了我们最佳结果。一旦我们有了这个 X 和 Y，剩下的唯一事情就是找到从 X 到 Y 的最短路径，这可以通过多种方式完成。