51nod 1120 机器人走方格 V3 卡特兰数 lucas定理

Posted 2020-07-13 c

N * N的方格，从左上到右下画一条线。一个机器人从左上走到右下，只能向右或向下走。并要求只能在这条线的上面或下面走，不能穿越这条线，有多少种不同的走法？由于方法数量可能很大，只需要输出Mod 10007的结果。

 

Input

输入一个数N(2 <= N <= 10^9)。

Output

输出走法的数量 Mod 10007。

Input示例

4

Output示例

10


明显是一道卡特兰数，推出ans = C(2*n-2,n-1) * 2 / n % MOD
先让n--,ans = C(2*n,n) * 2 / (n+1) % MOD 这样公式看起来好看些

由于 n <= 10^9,但是 MOD = 10007，所以求ans需要用到lucas定理

                                            
  //File Name: nod1120.cpp
  //Author: long
  //Mail: [email protected]
  //Created Time: 2016年05月27日 星期五 15时46分58秒
                                   

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <iostream>

#define LL long long

using namespace std;

const int MOD = 10007;

LL jie[MOD];

LL qp(LL x,LL y){
    LL res = 1;
    while(y){
        if(y & 1) res = res * x % MOD;
        x = x * x % MOD;
        y >>= 1;
    }
    return res;
}

void init(){
    jie[0] = 1;
    for(int i=1;i<MOD;i++)
        jie[i] = jie[i-1] * i % MOD;
}

LL get_c(int x,int y){
    if(y == 0 || y == x) return 1;
    return jie[x] * qp(jie[y] * jie[x-y] % MOD,MOD - 2) % MOD;
}

LL lucas(LL x,LL y){
    LL ans = 1;
    int u,v;
    while(x > 0 || y > 0){
        u = x % MOD;
        v = y % MOD;
        ans = ans * get_c(u,v) % MOD;
        x /= MOD;
        y /= MOD;
    }
    return ans;
}

int main(){
    init();
    int n;
    while(~scanf("%d",&n)){
        n--;
        printf("%d\n",(int)lucas(2*n,n) * qp(n+1,MOD-2) * 2 % MOD);
    }
    return 0;
}