动态规划法鸡蛋掉落问题

Posted 2020-11-12 jclian91

??上次我们讲到，我们的主人公丁丁由于用动态规划法解决了鸡蛋掉落问题（egg dropping problem）而获得了当地科学家的赏识。这不，正当丁丁还沉浸在解决问题的喜悦中，科学家又给丁丁出了一个难题：

假设有n个鸡蛋和d次尝试机会，那么，最多能探索多少层楼？

这无疑是鸡蛋问题的翻版，因为这两个问题实在太像了。丁丁没有犹豫，立马按照之前的想法开始思考：

??用\(f(d, n)\)表示该问题的解。假设从k层楼扔下鸡蛋（k足够大），若鸡蛋碎了，则剩下n-1个鸡蛋，d-1次尝试机会，最多能向下探索\(f(d-1, n-1)\)层楼；若鸡蛋没碎，则剩下n个鸡蛋，d-1次尝试机会，最多能向上探索\(f(d-1, n)\)层楼，于是：
\[f(d, n)=1+f(d-1, n-1)+f(d-1,n).\]
令\(g(d, n)=f(d, n+1)-f(d,n)\),则：
\[{\displaystyle {\begin{aligned} g(d, n)&=f(d, n+1)-f(d,n)\ &=[1+f(d-1,n)+f(d-1,n+1)]-[1+f(d-1,n-1)+f(d-1,n)]\&=[f(d-1, n+1)-f(d-1,n)]+[f(d-1,n)-f(d-1,n-1)]\&=g(d-1, n)+g(d-1,n-1)\end{aligned}}} \]
因为\(f(0,n)=f(d,0)=0\),对于任意的\(n,d\)，且\(f(d,1)=d\),故\(g(0,n)=0, g(d,0)=d.\)因为在组合数学中，有：
\[C_n^{k}=C_{n-1}^k+C_{n-1}^{k-1},\]
因此，由数学归纳法可知：\(g(d,n)=C_{d}^{n+1}.\)当\(n+1\geq d\)时，\(C_{d}^{n+1}=0.\)对于\(f(d,n)\),有：
\[{\displaystyle {\begin{aligned} f(d,n)=&[f(d,n)-f(d,n-1)]\+&[f(d,n-1)-f(d,n-2)]\+&\cdots \+&[f(d,1)-f(d,0)] \+&f(d,0). \end{aligned}}} \]
因为\(f(d,0)=0\),因此\(f(d,n)=\sum\limits_{i=1}^{n}C_{d}^{i}, d\geq 1.\)于是，科学家的问题就解决了。
??突然，丁丁又想到了：能不能用这个结果来解决鸡蛋掉落问题呢？答案是肯定的，对于给定的\(k=f(d,n)\),只需要对d从1开始算起，得到d,恰好使得\(f(d,n)\geq k,\)则d即可鸡蛋掉落问题的解。
??科学家看了丁丁的解答，十分满意，他终于下定决心招丁丁为自己的助手。不过，丁丁说，他还要去外面的世界再看看，因此，科学家也没有挽留，但他祝愿丁丁好运。
??本文不再给出相关的程序，读者可以自己实现哦~~
??本文的参考文献为：https://brilliant.org/wiki/egg-dropping/ 。
注意：本人现已开通两个微信公众号： 用Python做数学（微信号为：python_math）以及轻松学会Python爬虫（微信号为：easy_web_scrape）， 欢迎大家关注哦~~