动态规划解决扔鸡蛋问题
Posted 程序猿小黑
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了动态规划解决扔鸡蛋问题相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
在上一篇文章中，小黑介绍了一道有趣的智力题：
那么，如何利用动态规划来求出扔鸡蛋问题的通解呢？
换句话说，有M层楼 / N个鸡蛋，要找到鸡蛋摔不碎的临界点，需要尝试几次？
本篇会为大家详细讲述。
先回顾一下上一篇2个鸡蛋100层楼的情况：
看到这个题目，最保险的方法就是一层一层试验。但这样只需要一个鸡蛋就可以了。我们现在有两个鸡蛋，完全可以用有更快的方法。
进一步呢？可能试验的方法是二分查找，例如，第一个鸡蛋在50层扔下，如果碎了，第二个鸡蛋从1-49逐层试验；如果没碎，第一个鸡蛋在75层扔下，如果碎了，第二个鸡蛋从51-74逐层试验…但是，这个方法，很容易悲剧，例如，当正好49层是可以安全落下的，需要尝试50次。比只有一个鸡蛋的情况，效果还要差。
上面的分析都是从鸡蛋的角度出发的，想要得到最少的尝试次数，似乎比较难。那如果我们换个角度，从每个高度的楼层来看呢？如果，某个楼层是可以安全落下的，那么最少需要多少次尝试呢？
在我们解决问题的过程中，如果遇到最优问题的时候，往往可以先尝试一下动态规划的方法。而动态规划的方法，首要我们要找到构成这个最优问题的最优子问题。
什么是动态规划？
一、基本概念
动态规划过程是：每次决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移。一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，所以，这种多阶段最优化决策解决问题的过程就称为动态规划。
二、基本思想与策略
基本思想与分治法类似，也是将待求解的问题分解为若干个子问题（阶段），按顺序求解子阶段，前一子问题的解，为后一子问题的求解提供了有用的信息。在求解任一子问题时，列出各种可能的局部解，通过决策保留那些有可能达到最优的局部解，丢弃其他局部解。依次解决各子问题，最后一个子问题就是初始问题的解。
由于动态规划解决的问题多数有重叠子问题这个特点，为减少重复计算，对每一个子问题只解一次，将其不同阶段的不同状态保存在一个二维数组中。
与分治法最大的差别是：适合于用动态规划法求解的问题，经分解后得到的子问题往往不是互相独立的（即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解）。
三、适用的情况
能采用动态规划求解的问题的一般要具有3个性质：
(1) 最优化原理：如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，就称该问题具有最优子结构，即满足最优化原理。
(2) 无后效性：即某阶段状态一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响。也就是说，某状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关。
（3）有重叠子问题：即子问题之间是不独立的，一个子问题在下一阶段决策中可能被多次使用到。（该性质并不是动态规划适用的必要条件，但是如果没有这条性质，动态规划算法同其他算法相比就不具备优势）
动态规划解决问题的过程分为两步：
1.寻找状态转移方程式
2.利用状态转移方程式自底向上求解问题
如何找到状态转移方程式？
在上一篇文章中，两个鸡蛋100层楼的条件下，我们找到了一个规律：
假设存在最优解，在最坏情况下尝试次数是 X，那么第一个鸡蛋首次扔出的楼层也是 X 。
这个规律在三个以上鸡蛋的条件上还能否适用呢？让我们来举个例子：
假设有三个鸡蛋，100层楼，第一个鸡蛋扔在第10层并摔碎了。这时候我们还剩下两个鸡蛋，因此第二个鸡蛋不必从底向上一层一层扔，而是可以选择在第5层扔。如果第二个鸡蛋也摔碎了，那么第三个鸡蛋才需要老老实实从第1层开始一层一层扔。
这样一来，总的尝试次数是1+1+4 = 6 < 10。
因此，最优解的最坏情况下尝试次数是 X，鸡蛋首次扔出的楼层也是 X 这个规律不再成立。
那么，我们该怎么寻找规律呢？
我们可以把M层楼 / N个鸡蛋的问题转化成一个函数 F（M，N），其中楼层数M和鸡蛋数N是函数的两个参数，而函数的值则是最优解的最大尝试次数。
假设我们第一个鸡蛋扔出的位置在第X层（1<=X<=M），会出现两种情况：
1.第一个鸡蛋没碎
那么剩余的M-X层楼，剩余N个鸡蛋，可以转变为下面的函数：
F（M-X，N）+ 1，1<=X<=M
2.第一个鸡蛋碎了
那么只剩下从1层到X-1层楼需要尝试，剩余的鸡蛋数量是N-1，可以转变为下面的函数：
F（X-1，N-1） + 1，1<=X<=M
整体而言，我们要求出的是 M层楼 / N个鸡蛋 条件下，最大尝试次数最小的解，所以这个题目的状态转移方程式如下：
F（M，N）= Min（Max（ F（M-X，N）+ 1， F（X-1，N-1） + 1）），1<=X<=M
如何进行求解？
状态转移方程式有了，如何计算出这个方程式的结果呢？
诚然，我们可以用递归的方式来实现。但是递归的时间复杂度是指数级的，当M和N的值很大的时候，递归的效率会变得非常低。
根据动态规划的思想，我们可以自底向上来计算出方程式的结果。
何谓自底向上呢？让我们以3个鸡蛋，4层楼的情况为例来进行演示。
请看下面的这张表：
根据动态规划的状态转移方程式和自底向上的求解思路，我们需要从1个鸡蛋1层楼的最优尝试次数，一步一步推导后续的状态，直到计算出3个鸡蛋4层楼的尝试次数为止。
首先，我们可以填充第一个鸡蛋在各个楼层的尝试次数，以及任意多鸡蛋在1层楼的尝试次数。
原因很简单：
1.只有一个鸡蛋，所以没有任何取巧方法，只能从1层扔到最后一层，尝试次数等于楼层数量。
2.只有一个楼层，无论有几个鸡蛋，也只有一种扔法，尝试次数只可能是1。
2个鸡蛋2层楼的情况，我们就需要带入状态转移方程式了：
F（2,2） = Min（Max（ F（2-X，2）+ 1， F（X-1，2-1） + 1）），1<=X<=2
因为X的取值是1和2，我们需要对X的值逐一来尝试：
当X = 1时，
F（2,2） = Max（ F（2-1，2）+ 1， F（1-1，2-1） + 1）） = Max（ F（1，2）+ 1， F（0，1） + 1） = Max（1+1, 0+1） = 2
当X = 2时，
F（2,2） = Max（ F（2-2，2）+ 1， F（2-1，2-1） + 1）） = Max（ F（0，2）+ 1， F（1，1） + 1） = Max（0+1, 1+1） = 2
因此，无论第一个鸡蛋先从第1层扔，还是先从第2层扔，结果都是尝试2次。
接下来我们看一看2个鸡蛋3层楼的情况：
F（2,3） = Min（Max（ F（3-X，2）+ 1， F（X-1，2-1） + 1）），1<=X<=3
此时X的取值是1，2，3。我们需要对X的值逐一来尝试：
当X = 1时，
F（2,3） = Max（ F（3-1，2）+ 1， F（1-1，2-1） + 1）） = Max（ F（2，2）+ 1， F（0，1） + 1） = Max（2+1, 0+1） = 3
当X = 2时，
F（2,3） = Max（ F（3-2，2）+ 1， F（2-1，2-1） + 1）） = Max（ F（1，2）+ 1， F（1，1） + 1） = Max（1+1, 1+1） = 2
当X = 3时，
F（2,3） = Max（ F（3-3，2）+ 1， F（3-1，2-1） + 1）） = Max（ F（0，2）+ 1， F（2，1） + 1） = Max（1, 2+1） = 3
因此在2个鸡蛋3层楼的情况，最优的方法是第一个鸡蛋在第2层扔，共尝试2次。
依照上面的方式，我们计算出2个鸡蛋4层楼的最优尝试次数，结果是3次。
同理，我们按照上面的方式，计算出3个鸡蛋在各个楼层的尝试次数，分别是2次，2次，3次。具体计算过程就不再细说。
代码如何实现？
根据刚才的思路，让我们来看一看代码的初步实现：
public class Eggs{
public int getMinSteps(int eggNum, int floorNum){
if(eggNum < 1 || floorNum < 1) {
return 0;
}
//备忘录，存储eggNum个鸡蛋，floorNum层楼条件下的最优化尝试次数
int[][] cache = new int[eggNum+1][floorNum+1];
//把备忘录每个元素初始化成最大的尝试次数
for(int i=1;i<=eggNum; i++){
for(int j=1; j<=floorNum; j++)
cache[i][j] = j;
}
for(int n=2; n<=eggNum; n++){
for(int m=1; m<=floorNum; m++){
for(int k=1; k<m; k++){
//扔鸡蛋的楼层从1到m枚举一遍，如果当前算出的尝试次数小于上一次算出的尝试次数，则取代上一次的尝试次数。
//这里可以打印k的值，从而知道第一个鸡蛋是从第几次扔的。
cache[n][m] = Math.min(cache[n][m], 1+Math.max(cache[n-1][k-1],cache[n][m-k]));
}
}
}
return cache[eggNum][floorNum];
}
public static void main(String[] args) {
Eggs e = new Eggs();
System.out.println(e.getMinSteps(5,500));
}
}
那么这段代码的时间复杂度和空间复杂度是多少呢？
如何优化呢？
我们从状态转移方程式以及上面的表格可以看出，每一次中间状态的尝试次数，都只和上一层（鸡蛋数量-1）和本层（当前鸡蛋数量）的值有关联：
F（M，N）= Min（Max（ F（M-X，N）+ 1， F（X-1，N-1） + 1）），1<=X<=M
比如我们想要求解3个鸡蛋3层楼的最优尝试次数，并不需要知道1个鸡蛋这一层的值，只需要关心2个鸡蛋和3个鸡蛋在各个楼层的值即可。
这样一来，我们并不需要一个二维数组来存储完整的中间状态记录，只需要利用两个一维数组，存储上一层和本层的尝试次数就足够了。
请看优化版本的代码：
public class EggsOptimized {
public int getMinSteps(int eggNum, int floorNum){
if(eggNum < 1 || floorNum < 1) {
return 0;
}
//上一层备忘录，存储鸡蛋数量-1的floorNum层楼条件下的最优化尝试次数
int[] preCache = new int[floorNum+1];
//当前备忘录，存储当前鸡蛋数量的floorNum层楼条件下的最优化尝试次数
int[] currentCache = new int[floorNum+1];
//把备忘录每个元素初始化成最大的尝试次数
for(int i=1;i<=floorNum; i++){
currentCache[i] = i;
}
for(int n=2; n<=eggNum; n++){
//当前备忘录拷贝给上一次备忘录，并重新初始化当前备忘录
preCache = currentCache.clone();
for(int i=1;i<=floorNum; i++){
currentCache[i] = i;
}
for(int m=1; m<=floorNum; m++){
for(int k=1; k<m; k++){
//扔鸡蛋的楼层从1到m枚举一遍，如果当前算出的尝试次数小于上一次算出的尝试次数，则取代上一次的尝试次数。
//这里可以打印k的值，从而知道第一个鸡蛋是从第几次扔的。
currentCache[m] = Math.min(currentCache[m], 1+Math.max(preCache[k-1],currentCache[m-k]));
}
}
}
return currentCache[floorNum];
}
public static void main(String[] args) {
EggsOptimized e = new EggsOptimized();
System.out.println(e.getMinSteps(5,500));
}
}
以上是关于动态规划解决扔鸡蛋问题的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章