面试题-双蛋问题（动态规划）

Posted 2021-04-18 加班狗的博客

肺炎疫情期间，在B站上看了李永乐老师关于双蛋问题的视频，刚好我最近写了一篇关于动态规划的文章，这里我们试着使用动态规划的思想简单分析下这个问题。

一、问题描述

有一座100层的楼，有一个鸡蛋，在低楼层的时候将鸡蛋扔下不会碎，但是高楼层扔下会碎。存在一个临界楼层从该楼层之上抛下来，鸡蛋一定会碎。现在有N个鸡蛋可以做检查（鸡蛋没碎可以重复使用，但是碎了就不能使用了），问最少几次（M）能够找到这个临界楼层。

二、尝试

1）假设N=1，为了确保鸡蛋不会碎，只能从第一层开始往上扔，直到鸡蛋碎了为止，最差M=100

2）假设鸡蛋有无限多，可以使用二分法来解决这个问题，即在第50层往下扔，如果鸡蛋碎了就在25层继续扔，如果没碎的话，在75层往下扔。依次类推，直到找到为止。2^M>=100，m约等于6.64

如果N=2的情况下，最好需要多少次才能试出M？

1）假设第一个鸡蛋每隔十层扔一次，10、20、30。。。100，等鸡蛋碎着之后从再从区间内开始尝试，如果在第100层碎了的话就是91-99，这样就可以试出临界楼层了。

临界楼层出现在100层碎掉的话最坏的情况就是先扔10次（100／10=10）然后在91、92、93.。。99层向下扔，M=10+9=19。临界楼层出现在10层碎掉的话最坏的情况就是先扔1次（10/10=1），然后在1、2、3。。。9层向下扔要10次，M=1+9=10

当然我们可以通过扩大、减小第一次扔鸡蛋相隔楼层的数可以减少第二次扔鸡蛋的次数，但是这种情况计算出的结果也并不一定就是最优解，所以我们可以引入动态规划的思量来解决这个问题。

三、动态规划

假设有t层楼和n个鸡蛋，我们要如何计算出这个问题呢？

设M(t,n)为在从t层楼，n个蛋的情况下需要抛投的最少次数，假设在k层楼进行抛投，会产生两种情况：

如果鸡蛋碎了，那么我们需要继续计算的就是M(k, n-1)（n-1是因为鸡蛋碎了）

如果鸡蛋没碎，那么我们需要继续计算的就是M(t-k, n)

因为我们需要找到最坏的情况，所以我们需要去两者中的最大值

因此我们可以得出，在k层扔下第一颗鸡蛋Mk(t,n) = max(M(k-1, n-1), M(t-k, n)) + 1

k值可能为1-t次，因此想要找抛投的最少次数为M(t,n)= min(M1(t,n), M2(t,n), M3(t,n) ...... Mk(t,n))

在t=1或者n=1的时候，我们能够清楚的计算出M(t,n)，这就是该问题的边界。

有了边界和状态转移公式，我们就可以通过代码实现这个问题

public static int getMin(int t, int n) {
    int[][] dp = new int[t + 1][n + 1];

    // 边界处理,只有一个鸡蛋，i层就要扔i次
    for (int i = 1; i < t + 1; i++) {
        dp[i][1] = i;
    }

    // 边界处理,只有一层，不论鸡蛋有几个只要扔一次就可以
    for (int j = 1; j < n + 1; j++) {
        dp[1][j] = 1;
    }

    for (int i = 2; i < t + 1; i++) {
        for (int j = 2; j < n + 1; j++) {
            int min = Integer.MAX_VALUE;
            for (int k = 1; k < i; k++) {
                min = Math.min(min, Math.max(dp[i - k][j], dp[k - 1][j - 1]) + 1);
            }
            dp[i][j] = min;
        }
    }

    return dp[t][n];
}